[論文レビュー] Real General Relativity from Complex General Relativity with a Reality Constraint

Suresh K Maran|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、複素一般相対性理論から、面積計量の実数性制約を課すことによって、すべての符号性における古典的実一般相対性理論を導出する。この制約は、時空計量が実数または虚数である場合に限り、面積計量が実数であることを保証する。主な貢献は、任意のランクおよび次元の計量と関連するこの制約を結びつける一般定理の確立であり、ラグランジュ乗数を用いた複素作用からの実重力理論の導出を可能にする。

ABSTRACT

I extract classical real general relativity (all signatures) from complex general relativity by imposing the area metric reality constraint; the area metric is real iff a non-degenerate metric is real or imaginary. First I review the Plebanski theory of complex general relativity starting from a complex vectorial action. Then I modify the theory by adding a Lagrange multiplier to impose the area metric reality constraint and derive classical real general relativity. I investigate two types of action: Complex and Real. (Half) All the non-trivial solutions of the theory with (real) complex action correspond to real general relativity. I give a general theorem that relates the area metric reality constraint to a general space-time metric of arbitrary rank in arbitrary dimensions.

研究の動機と目的

• 幾何的制約を用いて、複素一般相対性理論から古典的実一般相対性理論を導出すること。
• 複素重力の定式化における非実計量の問題を、面積計量における実数性条件の導入によって解決すること。
• 任意の時空次元および計量符号性に対して有効な一般枠組みを確立すること。
• 複素作用に実数性制約を課した非自明な解が、正確に実一般相対性理論に対応することを示すこと。

提案手法

• プリエバンスキー理論に従い、一般相対性理論の複素ベクトル作用素による定式化から出発する。
• 場の変数における面積計量の実数性制約を課すためにラグランジュ乗数を導入する。
• 制約を含む修正された複素作用から場の運動方程式を導出し、実数解が保証されるようにする。
• 制約が計量の実数性に与える影響を分析し、計量が実数または虚数である場合に限り、この制約が成立することを示す。
• 面積計量の実数性条件が任意のランクおよび次元の時空計量とどのように関連するかを示す一般定理を構築する。
• 複素作用と実作用を区別し、実数解を生成するのは、制約を課した複素作用のみであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的制約を用いて、複素一般相対性理論から実一般相対性理論をどのように導出できるか？
• RQ2 面積計量の実数性制約は、複素解から実時空計量を選択するために果たす役割は何か？
• RQ3 面積計量が実数となる条件は何か？ これは時空計量の符号性およびランクとどのように関係するか？
• RQ4 実数性制約を課した場合、複素作用定式化が実重力解のみを生成するか？
• RQ5 面積計量の実数性条件と任意次元・符号性の計量を結びつける一般的な数学的構造は何か？

主な発見

• 面積計量の実数性制約により、時空計量が実数または虚数であることが保証され、複素理論から実一般相対性理論の解のみが選択される。
• 複素作用に実数性制約を課した非自明な解は、符号性や次元にかかわらず、すべて実一般相対性理論に対応する。
• ラグランジュ乗数による制約を介して、複素作用の枠組みから古典的実重力理論を成功裏に回復する。
• 任意のランクおよび次元の計量と関連する面積計量の実数性条件を結びつける一般定理が確立された。
• 実数性制約を課した複素作用は、実重力解のみを生成するが、実作用では同様の物理的内容を再現できない。
• この手法により、一つの複素枠組みと幾何的実数性条件を用いて、一般相対性理論のすべての符号性が統一的に扱えるようになった。