[論文レビュー] Real Gromov-Witten Theory in All Genera and Real Enumerative Geometry: Properties

Penka Georgieva, Aleksey Zinger|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、奇数次元の実的可換なシンプレクティック多様体における、任意の genus における実 Gromov-Witten 不変量の基礎的性質を確立する。モジュライ空間上の標準的向きが、標準的なノード同定埋め込みと反適合であることを証明しており、これは、数え上げ幾何学および可積分系への応用を可能にする重要な構造的結果である。

ABSTRACT

The first part of this work constructs positive-genus real Gromov-Witten invariants of real-orientable symplectic manifolds of odd "complex" dimensions; the present part focuses on their properties that are essential for actually working with these invariants. We determine the compatibility of the orientations on the moduli spaces of real maps constructed in the first part with the standard node-identifying immersion of Gromov-Witten theory. We also compare these orientations with alternative ways of orienting the moduli spaces of real maps that are available in special cases. In a sequel, we use the properties established in this paper to compare real Gromov-Witten and enumerative invariants, to describe equivariant localization data that computes the real Gromov-Witten invariants of odd-dimensional projective spaces, and to establish vanishing results for these invariants in the spirit of Walcher's predictions.

研究の動機と目的

• Gromov-Witten 理論における、実写像のモジュライ空間上の標準的向きが、標準的なノード同定埋め込みと整合することを確立すること。
• 特別な場合における、標準的実的向きと複素、スピン、相対的スピンの向きとの比較を行うこと。
• 後続の研究において、実 Gromov-Witten 不変量の計算および消滅定理の証明のための技術的基盤を提供すること。
• 特にノード点において、実曲線の退化に伴う向きの挙動を明確にすること。
• 奇数次元の実的可換なシンプレクティック多様体における、正の genus の実 Gromov-Witten 理論における向きの不確かさを解消すること。

提案手法

• 被覆多様体上の実的向きデータを用いて、実的 J-正則写像のモジュライ空間上の標準的向きを構成する。
• 決定的線束と実的バンドル対を用いて、実的および複素決定的線束間の標準的同型を定義する。
• ノード同定埋め込みを適用して、実写像のモジュライ空間の向きと、周囲の Gromov-Witten 理論の向きとを関連付ける。
• 決定的線束間の同型を介した向きの比較を行い、特に (4.41) という同型が向きを反転させることを分析する。
• 決定的線束のテンソル積と標準的同型を用いて、滑らかな曲線およびノードを持つ曲線上の向きを関連付ける。
• 標準的同型 (4.47) 及びそれと (4.50) の合成を用いて、ノードを滑らかにする前後における実写像のモジュライ空間上の向きを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実写像のモジュライ空間上の標準的向きは、Gromov-Witten 理論における標準的ノード同定埋め込みとどのように関係するか？
• RQ2 特別な場合において、実的向きは複素、スピン、相対的スピンの向きと整合的か？
• RQ3 特に共役なノードの対において、実曲線の退化に伴い向きの挙動はどのように変化するか？
• RQ4 同型 (4.41) が向きの符号に与える影響は何か？ そして、それが全体的な向きの比較にどのように影響するか？
• RQ5 複素次元が奇数のとき、実的向きはモジュライ空間上の実写像に一貫した向きをどのように誘導するか？

主な発見

• 標準的向きがノード同定埋め込みと反適合であることは、同型の合成が向きを反転させることによって示された。
• ノード的退化から生じる同型 (4.41) は向きを反転させるため、反適合性の主な要因である。
• 同型 (4.47) は、決定的線束間の標準的同型を誘導し、実的向き構造を尊重する。
• 複素、スピン、相対的スピン構造が存在する場合、それらの向きとの比較は一貫しており、明確に定義されている。
• 複素次元が偶数のとき、ノードの順序を入れ替えても向きの挙動は不変であるが、奇数次元では反適合性が特徴的な差を生じる。
• これらの結果は、後続の研究において実 Gromov-Witten 不変量の計算および消滅定理の証明のための厳密な基盤を提供しており、ワルチャーの予測に関連する研究を含む。