[論文レビュー] Real Multiplication on Jacobian Varieties

Robert A. Kucharczyk|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Wiman曲線 $W_g$ のJacobi多様体における実乗法の構造を調査し、特定の正則微分形式 $(W_g, \omega_k)$ に対して、そのJacobi多様体がVeech群のトレース体による実乗法をもつことを示している。最小および最大の $k$（$ vert\gcd(k, 2g+1) = t$ を満たすもの）に対してはこの構造が成り立つが、中間の $k$ に対しては $ vert\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$-作用によって保存されず、Veech曲面を超えたMöllerの定理の拡張に対する反例を提供する。

ABSTRACT

This is a slightly revised version of the author's 2010 diploma thesis. It is concerned with the interplay between real multiplication on Jacobian varieties, as the title suggests, and complex geodesics in the moduli space of curves. Large parts are expository and may hopefully serve as a very incomplete introduction to Teichmueller disks and curves, the moduli space of abelian differentials with its SL2(R)-operation and variations of Hodge structure.

研究の動機と目的

• 曲面のmoduli空間におけるTeichmüller円盤上の $ vert\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$-作用とJacobi多様体における実乗法の相互作用を理解すること。
• 非Veech翻訳曲面のJacobi多様体における実乗法構造が、$ vert\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$-作用によって保存されるかどうかを特定すること。
• Teichmüller円盤上でのHodge構造の変動を分析し、実乗法が生じる条件を同定すること。
• Veech曲面構造を持たない状況において、一般化されたMöllerの定理の反例を明示的に提供すること。

提案手法

• 研究は、アーベル微分形式のmoduli空間における $ vert\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$-作用を用いて、翻訳曲面 $(W_g, \omega_k)$ に付随するTeichmüller円盤を分析する。
• Veech群とそのトレース体を用いて、$W_g$ のJacobi多様体上での候補となる実乗法構造を定義する。
• Ahlfors-Rauchの変分公式を適用し、Teichmüller円盤に沿った周期行列の微分を計算することで、Hodge構造の不変性の欠如を検出する。
• ハモロジーのシンプレクティック基底を構成し、周期行列の表現を可能にすることで、Hodge構造の成分を明示的に計算する。
• 特に $ vert\tau = i$ における $ vert\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$-作用下での周期行列の振る舞いを分析し、不変性の欠如を検出する。
• 作用下での標準部分空間および固有形式の構造を比較し、中間の $k$ に対して実乗法が保存されないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非Veech翻訳曲面のJacobi多様体における実乗法が、アーベル微分形式のmoduli空間上での $ vert\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$-作用によっても保存されるか？
• RQ2 家族 $(W_g, \omega_k)$ におけるどの $k$ の値に対して、$J(W_g)$ 上の実乗法構造が $ vert\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$-作用によって不変のままであるか？
• RQ3 翻訳曲面のVeech群のトレース体が、その曲面がVeech曲面でない場合でも、Jacobi多様体上での実乗法として実現可能か？
• RQ4 Teichmüller円盤上でのHodge構造の変動と、実乗法の存在および不変性の関係は何か？
• RQ5 $ vert\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$-不変性の欠如が、一般化されたMöllerの定理に対する反例をどの程度提供するか？

主な発見

• 任意の $g \geq 3$ および $1 < k < g$ に対して、$J(W_g)$ は $ vert\mathrm{SL}(W_g, \omega_k)$ のトレース体による実乗法をもち、$\omega_k$ は自明な特徴指標の固有形式である。
• 実乗法構造が $ vert\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$-作用によって保存されるのは、$k = t$ または $k = g$ の場合に限る。ここで $t = \gcd(k, 2g+1)$ であり、これは各 $ vert\gcd$-類における最小および最大の $k$ に対応する。
• 中間の $k$（$ vert\gcd(k, 2g+1) = t$ を満たすもの）に対しては、$ vert\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$-作用によって実乗法構造が保存されない。これは、$ vert\tau = i$ における周期行列成分 $\Pi_{k-\ell t, k+\ell t}$ の微分が消えないことから示される。
• Ahlfors-Rauchの公式による微分計算により、$\left| \frac{d\Pi_{k-\ell t,k+\ell t}}{d\tau} \right|_{\tau=i} = \int_X |\omega_k|^2 > 0$ が得られ、不変性と矛盾する。
• これは、$g \geq 3$ に対してすべてのケースで、非Veech曲面へのMöllerの定理の拡張に対する明示的反例を提供する。
• この構成はMcMullenの $g=3, k=2$ の場合を一般化し、Möllerの研究における誤った主張を是正する。すなわち、すべての $1 < k < g$ が反例をもたらすわけではない。$\gcd(k, 2g+1) = t$ かつ $k \neq t, g$ を満たすものに限る。