[論文レビュー] Real Mutually Unbiased Bases

P. Oscar Boykin, Meera Sitharam+2 more|ArXiv.org|Feb 3, 2005

Mathematical Approximation and Integration参考文献 16被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、次元 $d$ の実ヒルベルト空間における実相互無相関基底（MUB）の最大数について、タイトな上限を確立している。ほとんどの次元において、最適な数は2または3である。初等的な線形代数とハダマード行列、組合せデザインの関係を用いて、先行の極値集合論の結果に依存せずに、$M_{\mathbb{R}^d} \leq d/2 + 1$ をより単純な代替手法で証明している。また、一部の実MUB集合は、最適な複素または実MUB集合に拡張できないことが示され、最大性が最適性を意味するという仮定に疑問を呈している。

ABSTRACT

We tabulate bounds on the optimal number of mutually unbiased bases in R^d. For most dimensions d, it can be shown with relatively simple methods that either there are no real orthonormal bases that are mutually unbiased or the optimal number is at most either 2 or 3. We discuss the limitations of these methods when applied to all dimensions, shedding some light on the difficulty of obtaining tight bounds for the remaining dimensions that have the form d=16n^2, where n can be any number. We additionally give a simpler, alternative proof that there can be at most d/2+1 real mutually unbiased bases in dimension d instead of invoking the known results on extremal Euclidean line sets by Cameron and Seidel, Delsarte, and Calderbank et al.

研究の動機と目的

• すべての次元 $d$ に対して、$\mathbb{R}^d$ における実相互無相関基底（MUB）の最大数のタイトな上界と下界を特定すること。
• 4の倍数でも平方数でもない次元における実MUBの構造を解明し、初等的手法によってタイトな境界を得ること。
• CameronとSeidelやDelsarteの深い結果に依存せず、既知の上界 $M_{\mathbb{R}^d} \leq d/2 + 1$ のより単純で自己完結的な証明を提供すること。
• 最大の実MUB集合が、最適なMUB集合に拡張可能かどうかを調査し、最大性が最適性を意味するという仮定に疑問を呈すること。

提案手法

• 一つの基底を標準基底に固定する正規形を用い、問題を $\{-1,1\}$ の成分を持つ行列を $1/\sqrt{d}$ 倍した直交行列（つまりハダマード行列）の構成に還元する。
• 初等的な数論的議論を用いて、$4 \nmid d$ のとき $M_{\mathbb{R}^d} = 1$ であることを示し、これはサイズ $d$ のハダマード行列が存在しないことによる。
• 互いに直交するラテン方陣（MOLS）および $(s+1,s)$-ネットの存在を用いて、$d = 4^i s^2$ で $s$ が奇数で $i > 1$ の場合の下界を導出し、$M_{\mathbb{R}^d} \geq \text{MOLS}(2^i s) + 2$ を示す。
• CameronとSeidelやDelsarteの深遠な結果に依存せず、組合せデザインのインシデントベクトルと線形代数を用いて、上界 $M_{\mathbb{R}^d} \leq d/2 + 1$ の代替証明を提供する。
• $(s+1,s)$-ネットのインシデントベクトルの構造を用いて、$s+1$ 個のラテンMUBに対して無相関である新たな基底は、すべての成分の絶対値が等しい必要があることを示し、一般化されたハダマード行列を意味することを示す。
• $d=4$ において背理法を用いて非拡張可能性を示し、複素数の範囲ですら、3つの実ラテンMUBに対して無相関となるベクトルは存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4の倍数でも平方数でもない次元 $d$ に対して、実相互無相関基底の最大数は何か？
• RQ2 極値集合論を用いずに、$M_{\mathbb{R}^d} \leq d/2 + 1$ の上界を初等的手法で証明できるか？
• RQ3 $d = 4s^2$ のとき、すべての奇数 $s$ に対して $M_{\mathbb{R}^d} = 3$ が成り立つか、それとも特定の値に限られるか？
• RQ4 すべての最大の実MUB集合は、最適なMUB集合（実または複素）に拡張可能か？
• RQ5 ハダマード予想が成り立つと仮定したとき、$i > 1$ かつ $s$ が奇数の $d = 4^i s^2$ に対して、$M_{\mathbb{R}^d}$ の正確な値は何か？

主な発見

• 4の倍数でない次元 $d$ に対して、実MUBの最大数は正確に1つである。これは、そのサイズのハダマード行列が存在しないことによる。
• 4の倍数ではあるが平方数でない次元に対して、実MUBの最大数は2以下であり、等号が成り立つのは、サイズ $d$ のハダマード行列が存在する場合に限る。
• $d = 4s^2$ の場合、実MUBの最大数は3以下であり、$s=1$（つまり $d=4$）ではこの境界がタイトである。このとき、3つの実MUBが存在し、かつそれ以上に拡張できない（非拡張可能）ことが示されている。
• この論文は、CameronとSeidelやDelsarteの結果に依存せず、$M_{\mathbb{R}^d} \leq d/2 + 1$ のより単純で自己完結的な証明を提供している。
• 次元 $d=4$ の3つの実ラテンMUBは非拡張可能である：実または複素の4番目のMUBは追加できない。これは、最大性が最適性を意味するとは限らないことを示している。
• $d = 4^i s^2$ で $i > 1$ かつ $s$ が奇数のとき、サイズ $2^i s$ のハダマード行列が存在すると仮定すれば、下界 $M_{\mathbb{R}^d} \geq \text{MOLS}(2^i s) + 2$ が成り立つ。