[論文レビュー] Real quadratic fields with a universal quadratic form of given rank have density zero

Vítězslav Kala, Pavlo Yatsyna+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2023

Analytic Number Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、与えられたランクの普遍的二次形式を許容する実二次体が、正の平方自由判別式 D 全体の中で密度ゼロであることを確立している。このような形式のランクを √D の連分数展開の係数と関連させ、格子内の短いベクトルに対する評価を適用することで、低ランクの普遍的形式をもつ体は非常に疎であり、X 以下のこのような体の数は、X の任意の正のべきよりも遅く増加することが示された。

ABSTRACT

We prove an explicit upper bound on the number of real quadratic fields that admit a universal quadratic form of a given rank, thus establishing a density zero statement. More generally, we obtain such a result for totally positive definite quadratic lattices that represent all the multiples of a given rational integer. Our main tools are short vectors in quadratic lattices combined with an estimate for the number of periodic continued fractions with bounded coefficients.

研究の動機と目的

• 与えられたランクの普遍的二次形式を許容する実二次体の自然密度を特定すること。
• 古典的格子にとどまらず、固定整数 m のすべての正の完全乗法的倍数を表す mO_H-普遍的格子を含めた分析を拡張すること。
• 小さなランクの普遍的形式を許容する実二次体が有限個であるという予想を、それらの体がまれであることを示すことによって解決すること。
• 与えられた束縛 X 以下のこのような体の数に対する明示的な上界を確立し、それが密度ゼロの集合をなすことの証明。

提案手法

• Q(√D) の整数環内の分解不能元の構造を、√D の連分数展開を用いて特徴付ける。
• 短いベクトルの数に関する評価を通じて、最大奇数番目の連分数係数 u_{2i+1} を、mO_H-普遍的格子の最小ランク R に関連付ける。
• Z-格子における特定ノルムのベクトル数に関する鋭い推定（定理 3.1）を適用し、最大奇数番目の係数の上界 B(R,m) を導出する。
• 上界 B(R,m) を用いて、R ランクの mO_H-普遍的格子が存在しうる D の集合を、連分数構造に基づいて制限する。
• 有界係数を持つ周期的連分数に関する数え上げ結果（系 2.12）と組み合わせることで、D ≤ X となるこのような D の数を上界で制御する。
• このような格子を許容する平方自由 D ≤ X の数に対する漸近的上界を導出し、多項式的成長よりも遅い成長が示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定ランク R に対して、Q(√D) が普遍的二次形式を許容する実二次体 Q(√D) の自然密度は何か？
• RQ2 √D の連分数構造は、Q(√D) 上の低ランク普遍的二次格子の存在をどのように制限するか？
• RQ3 固定整数 m とランク R に対して、ランク ≤ R である普遍的形式をもつ実二次体の数を、R と m の関数として一様に上界で抑えられるか？
• RQ4 √D の連分数係数は、小ランクの mO_H-普遍的格子の存在をどの程度制限するか？
• RQ5 Q(√D) がランク R の古典的 mO_H-普遍的格子を許容する平方自由 D ≤ X の数の成長率は何か？

主な発見

• 任意の ε > 0 に対して、R_class(Q(√D)) ≤ D^{1/12−ε} を満たす平方自由 D > 0 の集合は密度ゼロであり、X 以下のこのような D の数は O(X^{1−3ε/2} (log X)^{3/2}) で抑えられる。
• R(Q(√D)) ≤ D^{1/24−ε} を満たす平方自由 D ≤ X の数は O(X^{1−3ε} (log X)^{3/2}) で抑えられ、非古典的普遍的形式が低ランクで存在する例が非常にまれであることが確認された。
• Q(√D) 上にランク R の mO_H-普遍的古典的格子が存在するならば、√D の最大奇数番目の連分数係数は、格子ベクトル数の数え上げから得られる関数 B(R,m) で抑えられる。
• ランク R の mO_H-普遍的古典的格子を許容する平方自由 D ≤ X の数は、十分大きな X に対して O(B(R,m)^{3/2} X^{7/8} (log X)^{3/2}) で抑えられる。
• これらの結果により、実二次体上での普遍的形式のランクは、ほとんどすべての D に対して非常に大きく、D^{1/12−ε} よりも速く増加することが示された。
• 短いベクトルの評価と連分数の制御を組み合わせることで、本稿は、従来の文献における制限を克服し、初めてこの文脈で密度ゼロの結果を確立した。