[論文レビュー] Real rank and property (SP) for direct limits of recursive subhomogeneous algebras

N. Christopher Phillips|ArXiv.org|May 14, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、次元成長のない再帰的部分単位的可換代数の直接極限として得られる単位的単純なC*-代数が実数階数0または性質(SP)をもつための、正確なK理論的およびトレース的基準を確立する。実数階数0が成り立つのは、$K_0(A)$ の $
\mathrm{Aff}(T(A))$ への像が稠密であるときに限る。性質(SP)が成り立つのは、任意の $
\varepsilon > 0$ に対して、すべてのトレース状態 $
\tau$ に対して $0 < \tau_*(\eta) < \varepsilon$ を満たす $
\eta \in K_0(A)$ が存在するときである。これらの条件は鋭いものであり、より弱い代替条件を除外する反例によって示されている。

ABSTRACT

Let A be a unital simple direct limit of recursive subhomogeneous C*-algebras with no dimension growth. We give criteria which specify exactly when A has real rank zero, and exactly when A has the Property (SP): every nonzero hereditary subalgebra of A contains a nonzero projection. Specifically, A has real rank zero if and only if the natural map from K_0 (A) to the continuous affine functions on the tracial state space has dense range, A has the Property (SP) if and only if the range of this map contains strictly positive functions with arbitrarily small norm. By comparison with results for unital simple direct limit of homogeneous C*-algebras with no dimension growth, one might hope that weaker conditions might suffice. We give examples to show that several plausible weaker conditions do not suffice for the results above. If A has real rank zero and at most countably many extreme tracial states, we apply results of H. Lin to show that A has tracial rank zero and is classifiable.

研究の動機と目的

• 次元成長のない再帰的部分単位的可換代数の直接極限として得られる単位的単純C*-代数が実数階数0をもつための正確な条件を特定すること。
• このような代数が性質(SP)を満たす、すなわちすべての非ゼロの遺伝的部分代数が非ゼロの射影を含む、という条件を特徴づけること。
• 実数階数0や性質(SP)を満たさない弱い条件—例えば、射影がトレース状態を区別することや、$\tau_*(K_0(A))$ が $\mathbf{R}$ に稠密であること—が、実数階数0や性質(SP)を保証しないことの証明。
• 射影がトレース状態を区別すること、$K_0(A)$ がリーマン群であること、および性質(SP)を満たすことの3条件が、実数階数0の必要十分条件であることを示すこと。
• 実数階数0であり、かつ極限のトレース状態が高々可算個である場合に、エリオット不変量を分析し、このような代数を分類すること。

提案手法

• $K_0(A) \to \mathrm{Aff}(T(A))$ の標準的写像を用いて、像の稠密性を実数階数0の基準として分析すること。
• $K_0$-群が $\mathbf{Z}[1/2]^3$ に同型で、特定の正錐と順序単位を持つ例を構成し、条件の必要性を検証する反例の構築。
• 定理5.3の適用により、指定された $K_0$-群とトレース状態空間 $\Delta$ を持つC*-代数 $A_0$ を構成し、$2^\infty$ UHF代数とテンソル積を取って $A = A_0 \otimes B$ を得ること。
• 状態空間 $S(K_0(A))$ を $[0,1]^2$ へのアフィン同相写像を用いて計算し、それが単体でないことを示し、$K_0(A)$ がリーマン群でないことを示すこと。
• リンおよびエリオットの結果を活用し、実数階数0かつ極限のトレース状態が高々可算個のとき、トレース階数0が成り立ち、エリオット不変量による分類が可能であることを導出すること。
• プルバック構成と再帰的部分単位的可換代数の構造を用いて、遺伝的部分代数とトレースの振る舞いを分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元成長のない再帰的部分単位的可換代数の直接極限として得られる単位的単純C*-代数が実数階数0をもつための、$K_0$-理論的およびトレース的条件は何か？
• RQ2 代数 $A$ の射影がトレース状態を区別するという条件は、このクラスの代数に対して実数階数0を保証するのに十分か？
• RQ3 すべての $\tau$ に対して $\tau_*(K_0(A))$ が $\mathbf{R}$ に稠密であるという条件は、性質(SP)を示唆するか？
• RQ4 この文脈において、実数階数0、性質(SP)、および $K_0(A)$ がリーマン群であるという関係は何か？
• RQ5 射影がトレース状態を区別すること、$K_0(A)$ がリーマン群であること、および性質(SP)を満たすことの3条件を組み合わせた、実数階数0の必要十分条件は存在するか？

主な発見

• 実数階数0が成り立つのは、$K_0(A)$ の $
  \mathrm{Aff}(T(A))$ への像が稠密であるときに限る。
• 性質(SP)が成り立つのは、任意の $
  \varepsilon > 0$ に対して、すべてのトレース状態 $
  \tau$ に対して $0 < \tau_*(\eta) < \varepsilon$ を満たす $
  \eta \in K_0(A)$ が存在するときである。
• 反例により、すべての $\tau$ に対して $\tau_*(K_0(A))$ が $\mathbf{R}$ に稠密であるという条件は、性質(SP)を示さないことが示され、それどころか必要条件であるにもかかわらず十分ではない。
• 反例により、射影がトレース状態を区別するという条件は、$K_0(A)$ がリーマン群であることと組み合わせても、実数階数0を保証しないことが示された。
• 射影がトレース状態を区別すること、$K_0(A)$ がリーマン群であること、および $A$ が性質(SP)を満たすことの3条件は、実数階数0の必要十分条件であり、それぞれの部分が独立に不可欠である。
• 代数 $A$ が実数階数0であり、極限のトレース状態が高々可算個のとき、$A$ はトレース階数0であり、エリオット不変量により分類可能である。