[論文レビュー] Real-space renormalization, error correction and conditional expectations

Keiichiro Furuya, Nima Lashkari+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2020

Quantum many-body systems被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、条件付き期待値を介して、実空間の縮重群（RG）変換が量子誤り訂正符号として作用することを示している。ここで、粗粒化は誤りをマップし、長距離観測可能量は訂正可能な可換部分代数を形成する。主な結果は、状態がRGのもとで保存される場合、粗粒化は等長埋め込みのペッツ双対であり、GNSヒルベルト空間において写像が条件付き期待値として作用することである。これにより、RGと誤り訂正、およびホログラフィー双対性が結びつけられる。

ABSTRACT

We show that the real-space renormalization group (RG), as a map from the observable algebra to the subalgebra of long-distance observables, is an error correction code, best described by a conditional expectation. It is comprised of a coarse-graining step followed by an isometric embedding. The coarse-graining is the error map and the long-distance observables are the correctable operators. We show that if there is a state that is preserved under renormalization the coarse-graining step is the Petz dual of the isometric embedding (the Petz map). We demonstrate that a set of states are preserved under this map if and only if their pairwise relative entropies do not change when we restrict to the long-distance observables. We study the operator algebra quantum error correction in the GNS Hilbert space which applies to any quantum system including the local algebra of quantum field theory. We show that the recovery map is an isometric embedding of the correctable subalgebra. Similar to the RG, the composition of the error map followed by the recovery map forms a conditional expectation (a projection in the GNS Hilbert space). In gauge/gravity dualities, the bulk relative entropy of holographic states is the same as their boundary relative entropies which implies that the holographic map is an error correction code, and hence a conditional expectation. It follows that the boundary to the bulk map is a Petz map.

研究の動機と目的

• 実空間の縮重群（RG）変換と量子誤り訂正の間の正式な関係を確立すること。
• 粗粒化と等長埋め込みの合成からなるRG写像が、GNSヒルベルト空間において条件付き期待値として機能することを示すこと。
• 量子状態がRGのもとで不変である条件を特定し、不変性が相対エントロピーの保存とどのように関連するかを明らかにすること。
• 局所量子場理論およびゲージ/重力双対性に、演算子代数による量子誤り訂正を適用すること。
• ホログラフィーにおける境界から内部への写像がペッツ写像であることを示し、それが誤り訂正符号であることを裏付けること。

提案手法

• RG変換を、誤りマップとしての粗粒化写像と、回復マップとしての等長埋め込みの合成としてモデル化すること。
• RG写像を、GNSヒルベルト空間における条件付き期待値として解釈し、長距離観測可能量の可換部分代数への射影として扱うこと。
• 状態がRGのもとで保存される場合、粗粒化ステップのペッツ双対を定義するためにペッツ写像（等長埋め込みの逆写像）を用いること。
• 局所代数を含む量子場理論のGNS表現に、演算子代数による量子誤り訂正を適用すること。
• 回復マップが訂正可能な部分代数の等長埋め込みであり、演算子構造を保存することを示すこと。
• ゲージ/重力双対性における内部から境界への写像が条件付き期待値であることを示し、それが誤り訂正符号であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実空間の縮重群写像は、どのようにして量子誤り訂正符号として機能するのか？
• RQ2 量子状態がRG変換のもとで保存される条件は何か？ そして、これは粗粒化写像の構造にどのような意味を持つのか？
• RQ3 ペッツ写像は、RGの粗粒化と等長埋め込みのステップをどのように結びつけるか？
• RQ4 GNSヒルベルト空間における条件付き期待値構造は、どのようにしてRG変換から生じるのか？
• RQ5 長距離観測可能量への制限のもとで相対エントロピーが不変であることは、ホログラフィー双対性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• RG変換は、形式的に量子誤り訂正符号と同等であり、粗粒化が誤りマップ、長距離観測可能量が訂正可能な演算子として機能する。
• 状態がRGのもとで保存される場合、粗粒化ステップは等長埋め込みのペッツ双対であり、誤りと回復の双対性が確立される。
• ある状態の集合がRGのもとで保存されるための必要十分条件は、それらの状態間の相対エントロピーが長距離観測可能量に制限されても変わらないことである。
• RGフレームワークにおける回復マップは、訂正可能な部分代数の等長埋め込みであり、量子情報のユニタリ保存を保証する。
• 誤りマップと回復マップの合成は、GNSヒルベルト空間において条件付き期待値を形成し、訂正可能な代数への射影として作用する。
• ゲージ/重力双対性において、境界から内部への写像はペッツ写像であり、ホログラフィー写像が誤り訂正符号であることを確認しており、内部と境界の相対エントロピーが等しいことを示している。