[論文レビュー] Real State Transfer

Chris Godsil|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、グラフ上の連続的量子ウォークにおける「実状態転送」の概念を導入し、完全状態転送と一様混合が密度行列の実数性および代数的成分に根本的に関係していることを示している。主な貢献は、実密度行列が対称性と周期性を強制し、代数的成分が固有値のサポートに関する比の条件を意味することにある。これにより、二部グラフおよび有向グラフにおける一様混合の強力な制約が生じる。

ABSTRACT

A continuous quantum walk on a graph $X$ with adjacency matrix $A$ is specified by the 1-parameter family of unitary matrices $U(t)=\exp(itA)$. These matrices act on the state space of a quantum system, the states of which we may represent by density matrices, positive semidefinite matrices with rows and columns indexed by $V(X)$ and with trace $1$. The square of the absolute values of the entries of a column of $U(t)$ define a probability density on $V(X)$, and it is precisely these densities that predict the outcomes of measurements. There are two special cases of physical interest: when the column density is supported on a vertex, and when it is uniform. In the first case we have perfect state transfer; in the second, uniform mixing. There are many results concerning state transfer and uniform mixing. In this paper we show that these results on perfect state transfer hold largely because at the time it occurs, the density matrix is real. We also show that the results on uniform mixing obtained so far hold because the entries of the density matrix are algebraic numbers. As a consequence of these we derive strong restrictions on the occurence of uniform mixing on bipartite graphs and on oriented graphs.

研究の動機と目的

• 連続的量子ウォークにおける完全状態転送および一様混合が発生する構造的および代数的条件を調査すること。
• 既存の完全状態転送および一様混合に関する結果が、密度行列の実数性および代数的成分によってなぜ制限されているかを特定すること。
• スペクトル理論およびガロア理論的技法を用いて、二部グラフおよび有向グラフにおける一様混合の発生に強い制約を導出すること。
• 純粋状態を超えて、任意の実および代数的密度行列への状態転送に関する結果を一般化すること。
• 固有値サポートにおける比の条件が、有向および二部グラフにおける周期性および一様混合の必要条件であることを確立すること。

提案手法

• 密度行列 $ P $ が実数である場合の状態転送を定義し、$ U(t) = \exp(itA) $ を用いたユニタリな時間発展を活用する。ここで $ A $ は隣接行列である。
• 密度行列 $ P $ の固有値サポートを、$ E_r P E_s \neq 0 $ となるようなペア $ (\theta_r, \theta_s) $ の集合として定義する。ここで $ E_r $ はスペクトル射影である。
• $ U(t)PU(-t) $ が実数であるための必要十分条件として、$ P $ の固有値サポートが比の条件 $ \frac{\theta_r - \theta_s}{\theta_k - \theta_\ell} \in \mathbb{Q} $ をすべての異なるペアに対して満たすことが証明される。
• ガロア理論を用いて $ U(t)e_a $ の代数的成分を分析し、平坦性（一様混合）が代数的成分を意味し、それが比の条件を意味することを示す。
• スペクトル分解および代数的整数の性質を用いて、周期的頂点のサポートに含まれる固有値が、共通の平方根の有理数倍であることを示す。
• $ (A+I)^r e_a $ の非退化性および線形独立性を用いて、連結な二部グラフにおける周期的頂点を持つ頂点数を評価し、有限性に関する結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全状態転送および一様混合が特定のスペクトル的条件下でのみ発生するのはなぜか。どのような構造的性質がそれらを強制するのか。
• RQ2 密度行列の実数性が量子ウォークにおける対称性と周期性をどの程度強制するのか。
• RQ3 一様混合の文脈において、行列成分の代数的性質が固有値サポートにどのような制約を課えるのか。
• RQ4 最大次数が有界な条件下で、局所的一様混合または完全状態転送を許容する連結な二部グラフまたは有向グラフは有限個に制限されるのか。
• RQ5 ガロア理論的議論を用いて、有向グラフにおける周期性および一様混合の必要条件として比の条件を導出できるか。

主な発見

• 実密度行列 $ P $ から $ Q $ への完全状態転送は、$ U(t)PU(-t) $ が実数であることと同値であり、これは $ P $ の固有値サポートが比の条件を満たす場合に限る。
• 有向グラフにおける頂点 $ a $ が局所的一様混合を実現するならば、$ U(t)e_a $ は平坦であり、その成分は代数的である。したがって、$ a $ の固有値サポートは比の条件を満たさなければならない。
• 最大次数が $ k $ 以下の連結な二部グラフにおいて、周期的頂点を持つものは有限個に限る。これは、有界な中心性および固有値サポートのサイズによる。
• 同様に、このような二部グラフにおける局所的一様混合に対しても、同様の有限性結果が成り立つ。なぜなら、一様混合は比の条件を意味し、構造を制限するからである。
• 有向グラフにおける完全状態転送は、初期頂点の固有値サポートに比の条件が成り立つことを意味する。これは、遷移行列成分の代数的性質による。
• 有向グラフにおける周期的頂点の固有値サポートは、ある平方因子自由整数 $ b $ に対する $ \sqrt{b} $ の整数倍から成り、周期 $ 2\pi / \sqrt{b} $ で周期的になる。