[論文レビュー] Real-Time Minimization of Average Error in the Presence of Uncertainty and Convexification of Feasible Sets

Andrey Bernstein, Niek J. Bouman+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

Advanced Control Systems Optimization参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所コントローラーのレベルで誤差拡散の変種を用いることで、不確実性や非凸な実行可能集合が存在する状況下でも平均誤差を最小化するリアルタイム制御フレームワークを提案する。蓄積誤差が有界である条件を確立し、平均誤差がゼロに収束することを保証するとともに、誤差ダイナミクスの最小凸不変集合を構築する計算手法を提供する。

ABSTRACT

We consider a two-level discrete-time control framework with real-time constraints where a central controller issues setpoints to be implemented by local controllers. The local controllers implement the setpoints with some approximation and advertize a prediction of their constraints to the central controller. The local controllers might not be able to implement the setpoint exactly, due to prediction errors or because the central controller convexifies the problem for tractability. In this paper, we propose to compensate for these mismatches at the level of the local controller by using a variant of the error diffusion algorithm. We give conditions under which the minimal (convex) invariant set for the accumulated-error dynamics is bounded, and give a computational method to construct this set. This can be used to compute a bound on the accumulated error and hence establish convergence of the average error to zero. We illustrate the approach in the context of real-time control of electrical grids.

研究の動機と目的

• 局所コントローラーが不確実性や非凸な実行可能集合のためセットポイントを正確に実装できない場合のリアルタイム制御の課題に対処すること。
• 要求されたセットポイントと実装されたセットポイントの間の平均誤差が時間経過とともにゼロに収束することを保証すること。
• 凸化された実行可能集合を有する階層的制御システムにおける蓄積誤差を有界化する計算的に実行可能な手法を提供すること。
• 誤差ダイナミクスの最小凸不変集合が有界である理論的条件を確立し、蓄積誤差プロセスの安定性を保証すること。
• 積分制御性能が極めて重要な電力系統のようなリアルタイムシステムへの実用的導入を可能にすること。

提案手法

• 中央コントローラーがセットポイントを発行し、局所コントローラーが近似値を実装する二段階の離散時間システムとして制御相互作用をモデル化する。
• 誤差を $ e_{n+1} = e_n + x_n - y_n $ と定義し、局所コントローラーのレベルで合計蓄積誤差を最小化する誤差拡散アルゴリズムの変種を用いる。
• 局所コントローラーの実行可能集合マッピング下での誤差ダイナミクスの像の凸包を表す演算子 $ \mathfrak{P}_{\mathcal{S}} $ を導入する。
• 誤差ダイナミクスに対して不変である最小凸 $ F $-不変集合 $ \mathfrak{P}^\infty_{\mathcal{S}}(D) $ を、$ \mathfrak{P}_{\mathcal{S}} $ を繰り返し適用する極限として定義し、蓄積誤差を有界化する。
• $ \mathfrak{P}_{\mathcal{S}} $ の単調性および凸性の性質を活用して収束性を証明し、誤差集合のタイトな境界を構築する。
• アクティブ電力および無効電力のセットポイントを不確実性と離散的制御行動の下で管理するリアルタイム電力系統制御にフレームワークを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 階層的リアルタイム制御システムにおいて、蓄積誤差が時間経過とともに有界である条件は何か？
• RQ2 非凸な実行可能集合や予測誤差が存在する状況下でも、誤差拡散メカニズムをどのように適応させれば平均誤差がゼロに収束するか？
• RQ3 蓄積誤差ダイナミクスを有界化する最小凸不変集合を構築するための計算手法は何か？
• RQ4 中央コントローラーによる実行可能集合の凸化は、局所制御実装の安定性および性能にどのように影響するか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、積分制御性能が不可欠な電力系統のような実世界のシステムに適用可能か？

主な発見

• 最小凸 $ F $-不変集合 $ \mathfrak{P}^\infty_{\mathcal{S}}(D) $ は、すべての可能な蓄積誤差を含み、誤差ダイナミクスに対して不変である最小の凸集合であることが証明された。
• $ \mathfrak{P}_{\mathcal{S}} $ の繰り返し適用により、$ \mathfrak{P}^\infty_{\mathcal{S}}(D) $ に収束する単調な集合の列が得られ、誤差境界の有効な計算が可能になる。
• 誤差ダイナミクスが発散しないことを保証する条件下で、$ \mathfrak{P}^\infty_{\mathcal{S}}(D) $ の有界性が確立され、平均誤差がゼロに収束することが保証される。
• 局所コントローラーが不確実性や非凸な実行可能集合に直面しても、離散的または不安定な挙動が生じる状況下でも、フレームワークにより平均誤差がゼロに収束することが保証される。
• この手法は計算的に実行可能であり、アクティブ電力および無効電力のセットポイントを高速な時間制約下で管理する必要があるリアルタイムシステム、例えば電力系統に適用可能である。
• 理論的結果は電力系統制御の文脈で検証され、リアルタイム制約や実装の不一致が存在する中でも平均誤差をゼロに達成可能であることが示された。