[論文レビュー] Real zeros of Hurwitz-Lerch zeta and Hurwitz-Lerch type of Euler-Zagier double zeta functions

Takashi Nakamura|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

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ひとこと要約

本稿は、Hurwitz-Lerch zeta 関数 $\Phi(\sigma, a, z)$ が $0 < \sigma < 1$ において、$a \geq 1/2$ かつ $z = 1$ のとき実零点を持たないことを確立し、$z \neq 1$ のとき $0 < \sigma < 1$ および $0 < a \leq 1$ においても常に非ゼロのままであることを示している。さらに、積分表現および複素解析的手法を用いて、$z_1$ および $z_2$ に関するさまざまな条件下で、Hurwitz-Lerch 型のEuler-Zagier二重ゼータ関数の非消滅性を証明している。特に、臨界帯における符号および虚部の振る舞いを分析している。

ABSTRACT

Let $0 &lt; a \le 1$, $s,z \in {\mathbb{C}}$ and $0 &lt; |z|\le 1$. Then the Hurwitz-Lerch zeta function is defined by $Φ(s,a,z) := \sum_{n=0}^\infty z^n(n+a)^{-s}$ when $σ:=\Re (s) &gt;1$. In this paper, we show that the Hurwitz zeta function $ζ(σ,a) := Φ(σ,a,1)$ does not vanish for all $0

研究の動機と目的

• Hurwitz-Lerch zeta 関数 $\Phi(\sigma, a, z)$ が臨界帯 $0 < \sigma < 1$ において実零点を持たない条件を特定すること。
• これらの非消滅性結果を、Hurwitz-Lerch 型のEuler-Zagier二重ゼータ関数 $\Phi_2(s_1, s_2, a, z_1, z_2)$ に拡張すること。
• 特に $a \geq 1/2$ のとき、$\Phi(\sigma, a, 1)$ の非消滅挙動におけるパラメータ $a$ の役割を明確にすること。
• 積分表現および複素解析を用いて、二重ゼータ関数の解析的構造および符号の振るまいを分析すること。

提案手法

• 収束解析のため、Gamma 関数を含む積分表現を用いて $\Gamma(s_1)\Gamma(s_2)\Phi_2(s_1, s_2, a, z_1, z_2)$ を表現する。
• Fubini の定理を適用して、臨界帯における反復積分の収束性および符号解析を正当化する。
• 被積分関数の実部および虚部を分析し、$z_1$ および $z_2$ の偏角に応じた非消滅性を特定する。
• 複素指数関数の分解および三角恒等式を用いて、カーネルの実部および虚部の符号を研究する。
• $\zeta_2(\sigma, \sigma; a)$ における中間値定理の適用により、符号の変化が存在することを証明し、それによって非ゼロ性を示す。
• Komori の研究から既知の解析接続結果に依拠し、初期収束領域を超えて結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hurwitz ゼータ関数 $\zeta(\sigma, a)$ が $0 < \sigma < 1$ において実零点を持たないような $a \in (0,1]$ の値は何か？
• RQ2 $z \neq 1$ のとき、Hurwitz-Lerch ゼータ関数 $\Phi(\sigma, a, z)$ は $0 < \sigma < 1$ および $0 < a \leq 1$ において常に非ゼロであるか？
• RQ3 二重ゼータ関数 $\Phi_2(s_1, s_2, a, z_1, z_2)$ が $\Re(s_1), \Re(s_2) \in (0,1)$ において実零点を持たないための $z_1$ および $z_2$ の条件は何か？
• RQ4 臨界帯において非実数の $z_1, z_2$ のとき、$\Phi_2(s_1, s_2, a, z_1, z_2)$ の実部の符号を特定できるか？
• RQ5 非実数の $z_1, z_2$ に対して $\sin(2\pi\theta_1)\sin(2\pi\theta_2) > 0$ が成り立つとき、$\Im(\Phi_2(s_1, s_2, a, z_1, z_2))$ の振るまいはいかなるものか？

主な発見

• Hurwitz ゼータ関数 $\zeta(\sigma, a)$ は、$0 < \sigma < 1$ において、$a \geq 1/2$ である場合かつその場合に限り、実零点を持たない。
• 非実数の $z \neq 1$ に対して、Hurwitz-Lerch ゼータ関数 $\Phi(\sigma, a, z)$ は $0 < \sigma < 1$ および $0 < a \leq 1$ において常に非ゼロである。
• $z_1 = 1$ かつ $z_2 \neq 1$ のとき、$\Phi_2(\sigma_1, \sigma_2, a, 1, z_2)$ は $\sigma_1 > 0$, $\sigma_2 > 0$ に対して非ゼロであり、$z_2 \in [-1,1)$ のとき正の実部を持つ。
• 両方の $z_1$ および $z_2$ が非実数であり、$\sin(2\pi\theta_1)\sin(2\pi\theta_2) > 0$ が成り立つとき、任意の $\sigma_1 > 0$, $\sigma_2 > 0$ に対して $\Im(\Phi_2(\sigma_1, \sigma_2, a, z_1, z_2)) \neq 0$ である。
• $\sin(2\pi\theta_1)\sin(2\pi\theta_2) < 0$ のとき、任意の $\sigma_1 > 0$, $\sigma_2 > 0$ に対して $\Phi_2(\sigma_1, \sigma_2, a, z_1, z_2)$ の実部は厳密に正である。
• 二重ゼータ関数 $\zeta_2(\sigma, \sigma; a)$ は、$\lim_{\sigma \to 1^-} \zeta_2(\sigma, \sigma; a) = \infty$ および $\lim_{\sigma \to 1/2^+} \zeta_2(\sigma, \sigma; a) = -\infty$ を満たし、$1/2 < \sigma < 1$ の範囲で符号の変化を示唆する。したがって、この範囲では非ゼロの挙動を示す。