[論文レビュー] Realisation of groups as automorphism groups in categories

Gareth A. Jones|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、双曲的タイプの超写像、地図、およびデュッセイン・ダンファンの各パーミュテーショナルカテゴリにおいて、すべての可算群が非同型な非可算個の対象の自己同型群として実現可能であることを示している。三角群の極大部分群と対称群内の中心化子構造を活用することで、著者らはすべての有限群が単一の正則地図の自己同型群に埋め込まれることを証明し、これらのカテゴリにおける有限群の実現のための普遍的構成を提供している。

ABSTRACT

It is shown that in various categories, including many consisting of maps or hypermaps, oriented or unoriented, of a given hyperbolic type, every countable group $A$ is isomorphic to the automorphism group of uncountably many non-isomorphic objects, infinitely many of them finite if $A$ is finite. In particular, this applies to dessins d'enfants, regarded as finite oriented hypermaps. The proof, involving maximal subgroups of various triangle groups, yields a simple construction of a regular map whose automorphism group contains an isomorphic copy of every finite group.

研究の動機と目的

• 可算群が、超写像や地図などのパーミュテーショナルカテゴリにおいて、非同型な非可算個の対象の自己同型群として実現可能であることを確立すること。
• フクチの定理を有限グラフにとどまらず、双曲的タイプの有限超写像（例えば、デュッセイン・ダンファンを含む）において、有限群が自己同型群として実現可能であることを示すこと。
• すべての有限群の同型コピーを含む自己同型群を備えた単一の正則地図を構成し、これらのカテゴリにおける有限群の実現のための普遍的対象を提供すること。
• 双曲的タイプの向き付きおよび向きなし超写像のカテゴリが、強い自己同型実現性性質（SARP）を満たしていること、すなわち有限群および可算群の両方の実現が可能であることの証明。

提案手法

• 中心化子同型定理の利用：O のモノドロミー群 G における点安定化子 H に対して、Aut(O) ≅ N_G(H)/H が成り立つ。
• 定理1 を適用し、パーミュテーショナルカテゴリにおける自己同型群を、親群 Γ における正規化子対安定化子商に結びつける。
• コンダーとエヴァリットのコセット図を用いて、双曲的三重組 (p,q,r) に対する三角群 Δ(p,q,r) および Δ[p,q,r] の商として有限群を実現する。
• x をシフト、y を互換または q-サイクルとする ℤ 上の置換群 P = ⟨x, y⟩ を構成し、無限大超写像のモノドロミーをモデル化する。
• P あるいはその偶数部分群 P⁺（x と y で生成）が、すべての対称群および交代群に同型な部分群を含むことから、すべての有限群が含まれることを示す。
• ケイリーの定理と S_n が A_{n+2} に埋め込まれることを用い、すべての有限群を、超写像の最小正則被覆の自己同型群に埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての可算群が、双曲的タイプの超写像および地図カテゴリにおいて、非同型な非可算個の対象の自己同型群として実現可能か？
• RQ2 すべての有限群の同型コピーを含む自己同型群を備えた単一の正則地図が存在するか？
• RQ3 双曲的タイプの向き付きおよび向きなし超写像のカテゴリは、強い自己同型実現性性質（SARP）を満たすか？
• RQ4 三角群 Δ(p,q,r) の極大部分群を用いて、すべての有限群を有限超写像の自己同型群として実現可能か？
• RQ5 フクシアン群のコセット図は、これらのカテゴリにおけるすべての有限群の自己同型群の構成にどのような役割を果たすか？

主な発見

• すべての可算群 A は、双曲的タイプの超写像および地図カテゴリにおいて、非同型な非可算個の対象の自己同型群と同型である。
• すべての有限群 A に対して、Aut(O) ≅ A を満たす無限個の非同型な有限向き付き超写像（デュッセイン・ダンファンを含む）が存在する。
• 単一の正則地図、具体的には型 (∞,2,∞) の無限大超写像 H_∞ の最小正則被覆が、すべての有限群の同型コピーを自己同型群に含む。
• 無限大超写像 H_∞ の最小正則被覆の自己同型群は、ℤ 上の群 P = ⟨x, y⟩ と同型であり、そこにはすべての対称群 S_n が含まれる。
• 各 q ≥ 2 に対して、型 (∞, q, ∞) の向き付き超写像が存在し、その最小正則被覆の自己同型群は P または P⁺ と同型であり、両方ともすべての有限群を部分群として含む。
• この構成は、すべてのコンパクト双曲的三角群 Δ(p,q,r) および Δ[p,q,r] に一般化可能であり、すべてのこのようなカテゴリが強い自己同型実現性性質を満たすという予想を支持する。