[論文レビュー] Reality of linear and angular momentum expectation values in bound states

Utpal Roy, Suranjana Ghosh+2 more|ArXiv.org|Apr 3, 2007

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子的束縛状態における線形運動量および角運動量の期待値の実態を検討し、運動量演算子のエルミート性と束縛状態波動関数の対称性により、線形運動量の期待値が常にゼロであることを示している。球面座標系における運動量演算子の正しい形を導出し、ヤコビアン因子のため、デカルト座標からの単純な一般化が失敗することを示している。また、Ehrenfestの定理が曲線座標系で一貫した力学をもたらすように再定式化され、ヒドロゲン原子におけるヘイゼンベルクの運動方程式による径方向運動量の時間発展を通じて検証されている。

ABSTRACT

In quantum mechanics textbooks the momentum operator is defined in the Cartesian coordinates and rarely the form of the momentum operator in spherical polar coordinates is discussed. Consequently one always generalizes the Cartesian prescription to other coordinates and falls in a trap. In this work we introduce the difficulties one faces when the question of the momentum operator in spherical polar coordinate comes. We have tried to point out most of the elementary quantum mechanical results, related to the momentum operator, which has coordinate dependence. We explicitly calculate the momentum expectation values in various bound states and show that the expectation value really turns out to be zero, a consequence of the fact that the momentum expectation value is real. We comment briefly on the status of the angular variables in quantum mechanics and the problems related in interpreting them as dynamical variables. At the end, we calculate the Heisenberg's equation of motion for the radial component of the momentum for the Hydrogen atom.

研究の動機と目的

• 教科書でしばしば誤って適用される、デカルト座標系の形を単純に球面座標系に一般化する方法の誤りを避けるために、球面座標系における運動量演算子の正しい形を明確にすること。
• 束縛状態における線形運動量の期待値が常にゼロであるという結果を、導出なしに引用されることが多いが、それを厳密に示すこと。
• 特に曲線座標系において、角変数が量子力学における力学的変数として扱えるかどうかという基礎的問題に取り組むこと。
• 球面座標系における径方向運動量のEhrenfestの定理を再定式化し、ヒドロゲン原子においてニュートン力学と整合する動的挙動を示すこと。
• 曲線座標変換におけるヤコビアンの役割と、それが演算子定義および期待値に与える影響を強調すること。

提案手法

• 運動量演算子の固有値の実数性を要求し、エルミート性を保証することで、球面座標系における運動量演算子を導出する。
• 運動量演算子の座標表示を用い、無限井戸、調和振動子、クーロン場、モースポテンシャルなどのさまざまなポテンシャルの束縛状態波動関数に適用する。
• 特殊関数論（関連ラゲル・ルジャンドル多項式）を用いて、クーロンポテンシャルのような非自明な系における期待値を評価する。
• ヒドロゲン原子における径方向運動量演算子にヘイゼンベルクの運動方程式を適用し、球面座標系における時間発展を導出する。
• 水素様波動関数を用いて、1/r²および1/r³の期待値を評価し、径方向運動量演算子の時間微分の期待値がゼロになることを確認する。
• 導出された球面座標系におけるEhrenfestの定理を、標準的なデカルト座標系の形と比較し、後者が曲線座標系では不適切であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜデカルト座標系の運動量演算子を球面座標系に単純に一般化すると、量子力学において誤った結果が得られるのか？
• RQ2 期待値の実数性を保証するために、球面座標系における運動量演算子をどのように一貫して定義できるか？
• RQ3 なぜ束縛状態では線形運動量の期待値が常にゼロになるのか？特にクーロン場やモースポテンシャルのような非自明なポテンシャルに対しても、これを厳密に示す方法は何か？
• RQ4 曲線座標系においてEhrenfestの定理をどのように修正すれば、運動量期待値の時間発展を正しく記述できるか？
• RQ5 特にコンパクトまたは周期的系において、角変数が力学的変数としての地位を有する場合に、その意味は何か？

主な発見

• すべての束縛状態において、線形運動量演算子の期待値は正確にゼロであり、これは運動量演算子のエルミート性と波動関数の対称性に起因する。
• 球面座標系における運動量演算子は、デカルト座標系からの単純な一般化では不適切であり、ヤコビアン依存項を含む正しい形にしなければならない。
• ヒドロゲン原子における径方向運動量演算子は、ヘイゼンベルクの運動方程式を満たし、形式的にニュートンの第二法則に類似した形となる。このとき、正しい1/r³および1/r²のポテンシャル項が現れる。
• 正しい曲線座標系におけるEhrenfestの定理を用いることで、ヒドロゲン原子において径方向運動量演算子の時間微分の期待値がゼロになることが確認され、古典的安定性と整合する。
• 標準的なデカルト座標系におけるEhrenfestの定理は球面座標系では不適切であり、正しく変換されたバージョンのみが正しい力学をもたらす。
• 角度のようなコンパクトな変数に対しては、その共共役運動量（角運動量）がゼロでないのは周期的である場合に限る。そうでなければ、必ずゼロでなければならない。これは、角観測量を定義する際の根本的問題を浮き彫りにする。