[論文レビュー] Realizable homotopy colimits

Beatriz Rodríguez González|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、相対圏の2カテゴリ構造を用いて実現可能なホモトピー余極限の概念を導入することで、任意のモデル圏におけるBousfield-Kanホモトピー余極限が、余極限の絶対的左導来函手であることを確立する。主な結果は、幾何的実現と単体的置換を組み合わせた公式によってこのような余極限が特徴付けられ、この枠組みにより点付きホモトピー左Kan拡張の存在が保証されることを示している。

ABSTRACT

In this paper we prove that for any model category, the Bousfield-Kan construction of the homotopy colimit is the absolute left derived functor of the colimit. This is achieved by showing that the Bousfield-Kan homotopy colimit is moreover a realizable homotopy colimit, defined by means of a suitable 2-category of relative categories. In addition, in the case of exact coproducts, we characterize the realizable homotopy colimits that satisfy a cofinality property as those given by a formula following the pattern of Bousfield-Kan construction: they are the composition of a "geometric realization" with the simplicial replacement.

研究の動機と目的

• ホモトピー余極限の異なる定義（Bousfield-Kan、Quillen、Grothendieckの導来圏、Voevodsky）を統一的な枠組みで統合し、それらが同値であることを示すこと。
• 弱同値による局域化の前段階で実現されるホモトピー余極限としての「実現可能なホモトピー余極限」を定義・研究し、相対圏上の2カテゴリ構造を用いること。
• 余極限のコファイナリティ性質を満たす実現可能なホモトピー余極限を、幾何的実現と単体的置換を含む公式によって特徴付けること。
• モデル圏においてBousfield-Kan構成が実現可能なホモトピー余極限であることを示し、したがって余極限の絶対的左導来函手であることを証明すること。
• ホモトピー余積と$Δ$-ホモトピー余極限を保存する関手が、すべてのホモトピー余極限を保存するための必要十分条件は、それらがホモトピー余積と$Δ^\circ$-ホモトピー余極限を保存することであることを示すこと。

提案手法

• 相対圏に2カテゴリ構造を導入し、局域化の前段階で弱同値を保存する関手として実現可能なホモトピー余極限を定義する。
• 単体的対象の幾何的実現を表す「単純函手」$β: \Delta^\circ \mathcal{C} \to \mathcal{C}$を定義し、単体的降下の概念を符号化する。
• ホモトピー余極限を合成 $\mathtt{hocolim}_I \simeq \mathbf{s} \circ \amalg^I$ として表現するために、単体的置換函手 $\amalg^I: \mathcal{C}^I \to \Delta^\circ \mathcal{C}$ を用いる。
• 修正されたBousfield-Kan公式 $\mathtt{{}_{c}hocolim}^{BK}_{I}X = \int^i \widetilde{QX}(i) \otimes \mathrm{N}(i/I)^\circ$ を適用し、コブリエント図式上で単純函手であることを示す。
• モデル圏の前導来圏とGrothendieck導来圏の同値性を用いて、前導来圏が弱左および弱右導来圏の両方であることを導く。
• 弱同値のジグザグを用いて、ホモトピー余積と$\Delta^\circ$-ホモトピー余極限を保存する関手が、すべてのホモトピー余極限を保存することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のモデル圏において、Bousfield-Kanホモトピー余極限が余極限の絶対的左導来函手の普遍的性質を満たすことを示せるか？
• RQ2 実現可能なホモトピー余極限がコファイナリティ性質を満たすための条件は何か？また、幾何的実現と単体的置換による公式的記述は可能か？
• RQ3 相対圏において単純函手 $\mathbf{s}: \Delta^\circ \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ の存在は、点付きホモトピー左Kan拡張の存在とどのように関係するか？
• RQ4 モデル圏間の関手がすべてのホモトピー余極限を保存するための条件は何か？
• RQ5 Voevodskyの$\Delta$-閉クラスにおけるホモトピー余極限は、実現可能なホモトピー余極限の特別な場合であるか？また、主な結果にどのように寄与するか？

主な発見

• 任意のモデル圏におけるBousfield-Kanホモトピー余極限は、実現可能なホモトピー余極限であるため、余極限の絶対的左導来函手である。
• コファイナリティ性質を満たす実現可能なホモトピー余極限は、単純函手$\mathbf{s}$と単体的置換$\amalg^I$の合成として特徴付けられる。
• 正確な余積が存在する場合、実現可能なホモトピー余極限の存在は、すべてのホモトピー左Kan拡張が存在し、点ごとの計算が可能であることを示唆する。
• モデル圏に付随する前導来圏は、Grothendieck導来圏である。なぜなら、弱左および弱右導来圏の両方であるからである。
• モデル圏$\mathcal{M}$から$\mathcal{N}$への関手$F: \mathcal{M} \to \mathcal{N}$が、コブリエント対象間の弱同値を保存するとき、すべてのホモトピー余極限を保存するための必要十分条件は、ホモトピー余積と$\Delta^\circ$-ホモトピー余極限を保存することである。
• コロナリー6.7の条件が満たされるとき、自然変換 $\mathtt{hocolim}_I^\mathcal{N} \circ F \dashrightarrow F \circ \mathtt{hocolim}_I^\mathcal{M}$ は$\mathcal{R}el\mathcal{C}at$において同型である。