[論文レビュー] Realization of finite-state mixing Markov chain as a random walk subject to a synchronizing road coloring

Kouji Yano, Kenji Yasutomi|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2010

Cellular Automata and Applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の有限状態の混合マルコフ連鎖が、同期化道路彩色を持つ有向グラフ上の無作為ウォークとして実現可能であることを証明している。これにより、プロップ＝ウエルズの「過去からの結合」アルゴリズムに適した無作為写像の存在が保証される。主な貢献は、道路彩色定理とエントロピー解析を用いて導かれた、このような実現における近似的なエントロピー保存の必要十分条件である。

ABSTRACT

A mixing Markov chain is proved to be realized as a random walk in a directed graph subject to a synchronizing road coloring. The result ensures existence of appropriate random mappings in Propp--Wilson's coupling from the past. The proof is based on the road coloring theorem. A necessary and sufficient condition for approximate preservation of entropies is also given.

研究の動機と目的

• 有限状態の混合マルコフ連鎖を、同期化道路彩色を持つ有向グラフ上の無作為ウォークとして実現すること。
• プロップ＝ウエルズの「過去からの結合」アルゴリズムに適した適切な無作為写像の存在を保証すること。
• 無作為ウォーク表現におけるエントロピーの近似的保存の必要十分条件を導出すること。

提案手法

• 状態空間 V の自己準同型写像の集合上に、マルコフ連鎖の遷移確率を保つ写像法則 μ を構築する。
• 道路彩色定理を用いて、システムを単一の状態に同期化可能な写像の集合（すなわち、道路色の集合）の存在を保証する。
• N_i が μ の下で独立同分布に従う μ-無作為ウォーク (X, N) を定義し、X_k = N_k X_{k-1} とすることで、マルコフ連鎖のダイナミクスをモデル化する。
• 有限個の写像の合成がすべての状態を単一の状態に収縮するような写像の系列が存在する場合、μ の台を同期化的と定義する。
• 無作為ウォークと駆動ノイズの同時分布を用いてエントロピーを分析し、ノイズのエントロピー h(N) と連鎖のエントロピー h(Y) を比較する。
• 写像法則 μ の同期化的部分集合 Σ₁ を用いた摂動を用いて、h(N) が h(Y) に任意に近づく条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限状態の混合マルコフ連鎖は、同期化道路彩色を持つ有向グラフ上の無作為ウォークとして表現可能か？
• RQ2 無作為ウォークの駆動ノイズのエントロピーが、元のマルコフ連鎖のエントロピーに近づく条件は何か？
• RQ3 与えられた混合マルコフ連鎖に対して、同期化的台を持つ写像法則 μ を体系的に構成する方法はあるか？
• RQ4 摂動パラメータ ε → 0+ のとき、ノイズ過程のエントロピー h(N) が連鎖のエントロピー h(Y) に収束する条件は何か？
• RQ5 写像法則 μ が、誘導される無作為ウォークが元の連鎖のエントロピーを任意の精度で保存する条件は何か？

主な発見

• すべての有限状態の混合マルコフ連鎖は、同期化的台を持つ写像法則 μ を持ち、同期化道路彩色の下で無作為ウォークとして実現可能である。
• 近似的なエントロピー保存の必要十分条件は、マルコフ連鎖が p-一様であること、すなわちすべての x, y に対して q_{x,y} = q_{x_0, au_x(y)} を満たすある置換 τ_x が存在することである。
• p ≠ 1/2 の二状態例では、すべての ε > 0 に対して h(N^{(ε)}) > h(Y) であるが、ε → 0+ のとき h(N^{(ε)}) → h(Y) となるため、漸近的なエントロピー保存が成立する。
• p = 1/2 のとき、h(N^{(1/2)}) = h(Y) となり、対称的遷移確率の下で正確なエントロピー保存が成立する。
• 摂動構成 μ^{(n)}(σ) = ∑_{i:σ^{(i)}=σ} (ν(x_i) - 1/(nd)) + 1/(n|Σ₁|)1_{σ∈Σ₁} は、同期化的台の維持と、n → ∞ のとき h(N^{(n)}) → h(Y) の収束を両立する。
• ノイズ過程のエントロピー h(N) が連鎖のエントロピー h(Y) に等しいことは、エントロピー不等式の系列における等号が成立することと同値であり、これは連鎖が p-一様であることと同値である。