[論文レビュー] Realization of q-deformed spacetime as star product by a Drinfeld twist

Christian Blohmann|ArXiv.org|Feb 12, 2004

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特定のドリンフェルト・ツイスト—特に量子群 ${\mathcal{U}_{\hbar}(\mathrm{su}_2)}$ 及びそのユニバーサル R-行列から導かれるもの—が、非可換空間論的代数の上に可換な空間代数上の結合的スター積として、q-変形された時空、例えば量子平面、量子ユークリッド4次元空間、量子ミンコフスキー空間を実現できることを示している。主な結果は、これらのツイストが量子対称性を保ちつつ共変かつ結合的な変形をもたらし、非可換時空の形式的枠組みを量子場の理論に提供することである。

ABSTRACT

Covariance ties the noncommutative deformation of a space into a quantum space closely to the deformation of the symmetry into a quantum symmetry. Quantum deformations of enveloping algebras are governed by Drinfeld twists, inner automorphisms which relate the deformed to the undeformed coproduct. While Drinfeld twists naturally define a covariant star product on the space algebra, this product is in general not associative and does not yield a quantum space. It is reported that, nevertheless, there are certain Drinfeld twists which realize the quantum plane, quantum Euclidean 4-space, and quantum Minkowski space.

研究の動機と目的

• q-変形時空を可換関数代数上に結合的スター積として実現する形式的枠組みを確立すること。
• 一般のドリンフェルト・ツイストがコアソシエイティビティを定義するにもかかわらず、結合的スター積をもたらさないという問題を解決すること。
• ${\mathcal{U}_{\hbar}(\mathrm{su}_2)}$、${\mathcal{U}_{\hbar}(\mathrm{so}_4)}$、および ${\mathcal{U}_{\hbar}(\mathrm{sl}_2(\mathbb{C}))}$ の特定のドリンフェルト・ツイストが、時空代数の共変かつ結合的変形をもたらすことを示すこと。
• ドリンフェルト・ツイストによるスター積を用いて、量子ミンコフスキー空間、量子ユークリッド4次元空間、および量子平面を統一的に構成すること。

提案手法

• 本稿は、ドリンフェルト・ツイスト $\mathcal{F} \in ({\mathcal{U}(\mathfrak{g})} \otimes {\mathcal{U}(\mathfrak{g})})[[\hbar]]$ を用いて、対称性ホップ代数 ${\mathcal{U}(\mathfrak{g})}$ のコプロダクトを量子対称性代数 ${\mathcal{U}_{\hbar}(\mathfrak{g})}$ に変形する。
• スター積は $x \star y = \mu(\mathcal{F}^{-1} \triangleright [x \otimes y])$ により定義され、ここで $\mathcal{F}^{-1}$ は非変形関数代数上に双微分作用素として作用する。
• 一般にツイストに起因するスター積は非可換であるが、ドリンフェルトのコアソシエイターが消えるような特定のツイストを選択することで、スター積の可換性が保証される。
• ツイストの既約表現を表すために、${\mathcal{U}_{\hbar}(\mathrm{su}_2)}$ のクレブシュ＝ゴルダン係数に依存する。これにより、量子群構造と整合性が保証される。
• 量子ミンコフスキー空間のため、ツイスト $\mathcal{F}_{\mathrm{sl}_2(\mathbb{C})} = \mathcal{R}^{-1}_{23}\mathcal{F}_{13}\mathcal{F}_{24}$ は、量子平面の $\mathcal{F}$-ツイストと ${\mathcal{U}_{\hbar}(\mathrm{su}_2)}$ のユニバーサル R-行列から構成される。
• この方法は、得られたスター積が正しい量子群表現および $T^j_m$ 演算子の基底における乗法則をもたらすことで、妥当性が確認されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルト・ツイストを用いて、量子平面や量子ミンコフスキー空間などの q-変形時空を結合的スター積として実現できるか。
• RQ2 一般のドリンフェルト・ツイストがなぜ結合的スター積を生まないのか、そしてその失敗をどのような条件下で是正できるか。
• RQ3 時空の量子変形を、ローレンツまたはポincare対称性代数の量子変形と一貫して結びつける方法は何か。
• RQ4 量子ミンコフスキー空間を可換ミンコフスキー代数上のスター積として実現する明示的なドリンフェルト・ツイストの形は何か。
• RQ5 量子平面、量子ユークリッド4次元空間、および量子ミンコフスキー空間のツイストを、それらの背後にある量子群構造を通して統一的に関連付ける普遍的な構成はあるか。

主な発見

• ${\mathcal{U}_{\hbar}(\mathrm{su}_2)}$ のドリンフェルト・ツイスト $\mathcal{F}$ は、量子平面上で結合的スター積をもたらし、乗法則 $\mu_{\hbar}(T^{j_1}_{m_1} \otimes T^{j_2}_{m_2}) = \left(\begin{array}{cc} j_1 & j_2 \\ m_1 & m_2 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} j_1+j_2 \\ m_1+m_2 \end{array}\right)_q T^{j_1+j_2}_{m_1+m_2}$ を満たす。ここで $q$-クレブシュ＝ゴルダン係数が変形を符号化している。
• $\mathcal{F}_{\mathrm{so}_4} = \mathcal{F}_{13}\mathcal{F}_{24}$ は、非変形 $\mathbb{R}^4$ 代数上に量子ユークリッド4次元空間をスター積として実現し、量子 $\mathrm{so}_4$ 対称性による共変性を保っている。
• $\mathcal{F}_{\mathrm{sl}_2(\mathbb{C})} = \mathcal{R}^{-1}_{23}\mathcal{F}_{13}\mathcal{F}_{24}$ は、ローレンツ的符号型を符号化する ${\mathcal{U}_{\hbar}(\mathrm{su}_2)}$ の $\mathcal{R}$-行列を用いて、共変スター積として量子ミンコフスキー空間を実現している。
• ツイスト $\mathcal{F}$ の既約表現は $q$-変形クレブシュ＝ゴルダン係数により表現され、量子平面の場合は $\eta(j_1,j_2,j) = 1$ である。
• これらの特定のツイストに対して、スター積は明示的に可換である。ドリンフェルトのコアソシエイターが消えるため、一般にツイストに起因するスター積の非可換性という問題が解決されている。
• この構成は、変形された理論と非変形理論の間の形式的同値性を提供し、非可換場の理論におけるセイバーグ＝ウッズの予想を支持する。