[論文レビュー] Realizations of Gromov-Hausdorff Distance

Alexander Ivanov, S.D. Iliadis+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Medical and Biological Sciences参考文献 4被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、任意の2つのコンパクトな距離空間の間における最適な対応写像の存在を確立し、Gromov–Hausdorff距離が常にそのような対応写像において達成されることを証明する。これらの最適対応写像を用いて、像同士のHausdorff距離がGromov–Hausdorff距離に等しくなるような共通の距離空間への明示的な等長埋め込みを構成し、さらにそれらの対応写像がGromov–Hausdorff空間における最短曲線を生成することを示す。これにより、基本的なコンパクト性の議論によって、その空間の測地的構造が裏付けられる。

ABSTRACT

It is shown that for any two compact metric spaces there exists an "optimal" correspondence which the Gromov-Hausdorff distance is attained at. Each such correspondence generates isometric embeddings of these spaces into a compact metric space such that the Gromov-Hausdorff distance between the initial spaces is equal to the Hausdorff distance between their images. Also, the optimal correspondences could be used for constructing the shortest curves in the Gromov-Hausdorff space in exactly the same way as it was done by Alexander Ivanov, Nadezhda Nikolaeva, and Alexey Tuzhilin in arXiv:1504.03830, where it is proved that the Gromov-Hausdorff space is geodesic. Notice that all proofs in the present paper are elementary and use no more than the idea of compactness.

研究の動機と目的

• 任意の2つのコンパクトな距離空間の間のGromov–Hausdorff距離が、最適対応写像において達成されることを証明すること。
• 共通の距離空間へのコンパクトな距離空間の明示的実現を構成し、像同士のHausdorff距離がGromov–Hausdorff距離に等しくなるようにすること。
• 最適対応写像を用いてGromov–Hausdorff空間における最短曲線を明示的に構成できることを示し、その空間の測地的性質を確認すること。
• 高度な道具を用いずに、基本的なコンパクト性の議論に基づく証明を提供し、結果を自明かつ自立的に保つこと。

提案手法

• コンパクトな距離空間 X と Y 間の対応写像を、両方の射影が全射である関係として定義する。
• 対応写像の歪度（distortion）を、関連する点のペア間の距離の差の絶対値の上界として定義する。
• コンパクトな対応写像の空間上の歪度関数が連続であり、かつその空間のコンパクト性により最小値を達成することを証明する。
• Gromov–Hausdorff距離が最適対応写像の歪度の半分に等しいことを見せる。
• 最適対応写像を用いて、直和 X ⊔ Y 上に擬距離を定義し、商空間を構成することで、X と Y の像がGromov–Hausdorff距離をHausdorff距離として実現する。
• 最適対応写像を用いて、1パラメータ族の距離空間 R_t を定義し、距離 ρ_t が X と Y の距離の線形補間として (x,y),(x',y') の間で ρ_t((x,y),(x',y')) = (1−t)|xx'| + t|yy'| と与えられ、X と Y を結ぶGromov–Hausdorff空間内での最短曲線を形成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の2つのコンパクトな距離空間の間のGromov–Hausdorff距離は、常にある対応写像においてその下界を達成するか？
• RQ2 任意の2つのコンパクトな距離空間は、共通の距離空間に等長埋め込み可能であり、その像同士のHausdorff距離がGromov–Hausdorff距離に等しくなるようにできるか？
• RQ3 最適対応写像を用いて、Gromov–Hausdorff空間内での最短曲線を明示的に構成できるか？
• RQ4 Gromov–Hausdorff空間は測地的であり、かつその性質は基本的なコンパクト性の議論によって証明可能か？

主な発見

• 任意の2つのコンパクトな距離空間 X と Y に対して、d_GH(X,Y) = (1/2) · dis(R) を満たす最適対応写像 R ∈ R_opt(X,Y) が少なくとも1つ存在する。
• X ⊔ Y 上に、d_H(X,Y,ρ) = d_GH(X,Y) を満たす擬距離 ρ が存在し、Gromov–Hausdorff距離が共通空間内でのHausdorff距離として直接実現される。
• Gromov–Hausdorff距離が d_GH(X,Y) に等しくなるような距離空間 Z と、X と Y の Z への等長埋め込みが存在する。
• 任意の最適対応写像 R に対して、距離 ρ_t((x,y),(x',y')) = (1−t)|xx'| + t|yy'| で定義される距離空間 (R, ρ_t) の族は、X と Y を結ぶGromov–Hausdorff空間内での最短曲線を形成する。
• 証明は、コンパクトな対応写像の空間のコンパクト性と歪度関数の連続性にのみ依存し、高度な解析的道具を用いない。
• 結果として、Gromov–Hausdorff空間が測地的であることが確認され、最短曲線の構成は最適対応写像を用いて明示的かつ構成的に行える。