[論文レビュー] Realizing Kasparov's KK-theory groups as the homotopy classes of maps of a Quillen model category

M. Joachim, Mark Johnson|arXiv (Cornell University)|May 14, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、ν-逐次的完備な l.m.c.-C*-代数の圏にQuillenモデル構造を構成し、可分な C*-代数 $A$ と σ-単位的 C*-代数 $B$ 間の写像のホモトピー類が自然に Kasparov の $KK(A,B)$ 群に同型であることを示している。この構成は、Cuntz の同型 $KK(A,B) \conq [W(qA), B]$ を基盤とし、cofibrant な置換として $qA \boxtimes \mathcal{K}$ を用い、弱同値が正確に $KK_*$-同値に対応することを確立している。

ABSTRACT

In this article we build a Quillen model category structure on the category of sequentially complete l.m.c.-C*-algebras such that the corresponding homotopy classes of maps Ho(A,B) for separable C*-algebras A and B coincide with the Kasparov groups KK(A,B). This answers an open question posed by Mark Hovey about the possibility of describing KK-theory for C*-algebras using the language of Quillen model categories.

研究の動機と目的

• 可分な $C^*$-代数 $A$ と σ-単位的 $C^*$-代数 $B$ に対して、ホモトピー類の写像として Kasparov の $KK$-理論群を自然に実現する、ν-逐次的完備な l.m.c.-C*-代数の圏における Quillen モデル構造を確立すること。
• モデル圏における弱同値が正確に $KK_*$-同値に対応することを保証し、$KK$-理論の同型を保存すること。
• より良い圏的性質を持つ完備な l.m.c.-C*-代数の大きな圏に $C^*$-代数を埋め込むことで、$KK$-理論のホモトピー的枠組みを提供すること。
• コンパクト作用素 $\mathcal{K}$ によるテンソル積と左随伴 $W$ を含む随伴対を用いてモデル構造を定義し、Cuntz の定理を一般化すること。
• すべての対象が cofibrant 生成可能かつファイブレーション的であることを保証し、帰納的構成と良好なホモトピー極限を可能にすること。

提案手法

• 逆極限としての $C^*$-代数を含む、ν-逐次的完備な l.m.c.-C*-代数の圏 $\mathbb{A}_\nu$ 上にモデル圏を定義する。
• ホモトピー圏を定義する基盤として、同型 $KK(A,B) \cong [W(qA), B]$ を用いる。
• cofibrant 置換を $qA \boxtimes \mathcal{K}$ により構成し、ここで $qA$ は $A * A \to A$ の畳み込み写像の核である。
• 弱同値を $\pi_n \text{Hom}(W(qA), -)$ 上の同型を誘導する写像として定義し、これにより $KK_*$-同値に対応する。
• l.m.c.-C*-代数の圏における余極限および写像空間を扱うために、半ノルム拡張性質を確立する。
• Quillen の Small Object Argument を適用して、ファイブレーション的対象がすでにファイブレーション的であることを保証する、cofibrantly 生成されたモデル構造を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kasparov の $KK$-理論群は、Quillen モデル圏におけるホモトピー類の自然な実現として得られるか？
• RQ2 完備な l.m.c.-C*-代数の圏に、$Ho(A,B) \cong KK(A,B)$ がすべての可分な $A$ および σ-単位的 $B$ に対して成り立つようなモデル圏構造が存在するか？
• RQ3 そのようなモデル圏における弱同値は $KK_*$-同値と一致するか？
• RQ4 可分な $C^*$-代数の cofibrant 置換は $qA \boxtimes \mathcal{K}$ を用いて構成可能か？
• RQ5 $\mathbb{A}_\nu$ 上のモデル圏構造は、すべての対象がファイブレーション的である cofibrantly 生成された構造を備えているか？

主な発見

• $\mathbb{A}_\nu$ 上のモデル圏構造は、すべての可分な $C^*$-代数 $A$ および σ-単位的 $C^*$-代数 $B$ に対して $Ho(A,B) \cong KK(A,B)$ を満たす。
• σ-単位的 $C^*$-代数 $B$ と $B'$ 間の *-準同型 $f: B \to B'$ が $KK$-モデル圏における弱同値であるための必要十分条件は、$f$ が $KK_*$-同値であることである。
• $qA \boxtimes \mathcal{K}$ は cofibrant であり、$qA$ の cofibrant 置換をなす。また、合成写像 $qA \boxtimes \mathcal{K} \to qA \to A$ は $A$ の cofibrant 置換を与える。
• モデル圏は cofibrantly 生成されており、すべての対象がファイブレーション的であるため、ホモトピー極限の良好な振る舞いと右正則性が保証される。
• 標準的写像 $q_{qB}: qB \boxtimes \mathcal{K} \to qB$ は、写像空間上で弱同値を誘導し、これは $KK$-群をホモトピー類として実現するために不可欠である。
• この構成は Cuntz の定理を一般化し、$Ho(A,B) = \pi_0 \text{Hom}(qA \boxtimes \mathcal{K}, B)$ を通じて $KK$-理論の新しいホモトピー的解釈を提供する。