[論文レビュー] Realizing the analytic surgery group of Higson and Roe geometrically, Part I: The geometric model

Robin J. Deeley, Magnus Goffeng|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、HigsonとRoeの解析的手術群に対して、 Baum-Douglas型の幾何的サイクルを用いて幾何的モデルを構築し、解析的バージョンに類似した六項完全列を確立する。主な貢献は、等しいランクのユニタリ表現に対するη型不変量の幾何的実現である。具体的には、幾何的手術群から実数への写像を定義する。

ABSTRACT

We construct a geometric analog of the analytic surgery group of Higson and Roe for the assembly mapping for free actions of a group with values in a Banach algebra completion of the group algebra. We prove that the geometrically defined group, in analogy with the analytic surgery group, fits into a six term exact sequence with the assembly mapping and also discuss mappings with domain the geometric group. In particular, given two finite dimensional unitary representations of the same rank, we define a map in the spirit of $η$-type invariants from the geometric group (with respect to assembly for the full group $C^*$-algebra) to the real numbers.

研究の動機と目的

• 解析的手術群の幾何的アナログを、解析的Kホモロジーに依存せずに、幾何的サイクルを用いて構築すること。
• 幾何的データのみを用いて、特にη型不変量を含む二次不変量の幾何的枠組みを提供すること。
• K理論のバナッハ代数への値をとるアセンブリーマップへの一般化を図り、より広範な応用を可能とすること。
• 解析的場合に類似した、幾何的手術群に対する六項完全列を確立すること。
• 等しいランクのユニタリ表現に対して、幾何的手術群から実数への写像をη不変量の精神に則って定義すること。

提案手法

• コンパクトなスピン$^c$多様体と有限CW複体$X$への写像、および有限生成射影$B$-加群の滑らかなバンドルを備えた幾何的サイクルを用いて、幾何的手術群$K_*^{geo}(X;B)$を構成する。
• 直和／直和の直和、ベクトルバンドル変形、および bordism を用いた同値関係を定義し、群構造を形成する。
• C^*代数の短完全列から得られる六項完全列を用いる：$0 \to C^*_{\Gamma,\epsilon}(\tilde{X}) \to D^*_{\Gamma,\epsilon}(\tilde{X}) \to D^*_{\Gamma,\epsilon}(\tilde{X})/C^*_{\Gamma,\epsilon}(\tilde{X}) \to 0$。
• $K_*(D^*_{\Gamma,\epsilon}(\tilde{X})/C^*_{\Gamma,\epsilon}(\tilde{X})) \cong K_*(X)$ および $K_*(C^*_{\Gamma,\epsilon}(\tilde{X})) \cong K_*(C^*_{\epsilon}(\Gamma))$ を特定し、幾何的群と解析的手術群を結びつける。
• スピン$^c$-Dirac作用素と切断関数$\chi$を用いて、幾何的インデックス写像$\mathrm{ind}^a_{X,B}: K_*^{geo}(X;B) \to KK^{ban}(C_0(X), B)$ を定義する。
• KK^{ban}(-,B) が半正確である場合、幾何的インデックス写像が同型であることを証明し、幾何的モデルの妥当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HigsonとRoeの解析的手術群は、Baum-Douglasサイクルに基づく完全な幾何的モデルによって実現可能か？
• RQ2 幾何的手術群は、解析的場合に類似した六項完全列に適合するか？
• RQ3 η型不変量は、幾何的サイクルから実数への写像として定義可能か？
• RQ4 幾何的インデックス写像が同型である条件は何か？また、解析的インデックスとはどのように関係するか？
• RQ5 幾何的モデルは、群代数のバナッハ代数完備化に拡張可能か？その結果、二次不変量の新しい消滅定理の証明が可能になるか？

主な発見

• 幾何的手術群$K_*^{geo}(X;B)$は、バウンダリズム、直和、ベクトルバンドル変形に関する同値関係による幾何的サイクルのアーベル群として構成される。
• 幾何的手術群は、$K_*(X)$ および $K_*(C^*_{\epsilon}(\Gamma))$ を端点とする、解析的手術完全列と同型な六項完全列に適合する。
• 有限次元ユニタリ表現が同じランクを持つ場合、幾何的手術群から$\mathbb{R}$への写像を定義し、η不変量の概念を一般化する。
• 幾何的インデックス写像$\mathrm{ind}^a_{X,B}: K_*^{geo}(X;B) \to KK^{ban}(C_0(X), B)$ は適切に定義されており、$KK^{ban}(-,B)$ が有限CW複体$C_0(X)$上で半正確である限り、同型である。
• この構成は、群代数のバナッハ代数完備化へ一般化可能であり、二次不変量の消滅定理の証明に柔軟に応用可能である。
• 幾何的モデルは、解析的Kホモロジーを必要とせず、解析的手術群の本質的構造を保ちつつ、完全に幾何的枠組みを提供する。