[論文レビュー] Reasonably complete forcing notions

Andrzej Rosłanowski, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2005

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、不動点基数 $\lambda$ に対して $\lambda$-サポート反復が $\lambda$-正しく保たれるように保証する『ある程度完全な』強制法の性質（特に A, B, C）を導入し、分析する。A-有界性が以前の概念と同値であることを示し、反復定理を強化し、2つの正規フィルターに関する支配数が異なることが一貫して成り立つことを示すフレームワークを適用する。

ABSTRACT

We introduce more properties of forcing notions which imply that their lambda-support iterations are lambda-proper, where lambda is an inaccessible cardinal. This paper is a direct continuation of section A.2 of math.LO/0210205. As an application of our iteration result we show that it is consistent that dominating numbers associated with two normal filters on lambda are distinct.

研究の動機と目的

• 不動点基数 $\lambda$ に対して $\lambda$-サポート反復が $\lambda$-正しく保たれるように保証する強制法の性質（A, B, C）を特定・形式化すること。
• 性質 A および B が $\lambda$-サポート反復において『ほぼ保存』されることを示すことにより、反復定理を強化すること。
• 本論文で導入された新しい A-有界性が、以前の概念と同値であることを示し、以前の結果を改善すること。
• 反復フレームワークを用いて、$\lambda$ 上の2つの異なる正規フィルターに対する支配数が不等であるモデルを構成すること。
• $\lambda$-サポート反復において、新しい強制法 $\mathbb{Q}^2_{\mathcal{U}}$ を用いて、異なる支配数の一致性を調査すること。

提案手法

• 強制法の性質として、A および B を反復安定性の『妥当な』候補とみなして、有界性タイプの性質（A, B, C）を導入する。
• ゲーム的特徴付け（一般性と反一般性のプレイヤー間のゲーム）を用いて、強制法の性質を定義・分析する。
• $\lambda$-サポート反復を用いて、極限における $\lambda$-正しさを保つ。たとえ極限の強制法が元の性質のやや弱い版を満たしても成立する。
• 正規フィルター $\mathcal{U}$ を用いて、$\lambda$ 上のクラブ集合と列を用いて一般性の挙動を制御する、特定の強制法 $\mathbb{Q}^2_{\mathcal{U}}$ を構成する。
• $\mathbb{Q}^2_{\mathcal{U}}$ が $\mathcal{U}$ 上で『ある程度完全な』C-有界性を満たすことを証明し、反復定理への応用を支援する。
• 強制公理と一般性拡大を用いて、極限において強制法が $\lambda$-正しさに必要な性質を保つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 性質 A, B, C を用いて、不動点基数 $\lambda$ に対して $\lambda$-サポート反復が $\lambda$-正しく保たれるようにできるか？
• RQ2 本論文で導入された新しい A-有界性は、Rosłanowski と Shelah [4, §A.2] で定義されたものと同値か？
• RQ3 強制法 $\mathbb{Q}^2_{\mathcal{U}}$ は、$\lambda$ 上の2つの正規フィルターに対する支配数を別々に制御するのに十分な一般的実数の制御を保つのか？
• RQ4 $\mathbb{Q}^2_{\mathcal{U}}$ の $\lambda$-サポート反復自体が $\lambda$-正しく保たれるか？
• RQ5 反復フレームワークを用いて、$\lambda$ 上の1つの正規フィルターに関連する支配数と、別の正規フィルターに関連する支配数が異なるモデルを構成できるか？

主な発見

• 本論文で導入された A-有界性は、Rosłanowski と Shelah [4, §A.2] で定義されたものと同値であり、それにより同著書の定理 A.2.4 が改善される。
• 定理 2.5 は、A-有界性が $\lambda$-サポート反復において『ほぼ保存』されることを示しており、極限の強制法がやや弱いが依然として適用可能なバージョンを満たしていることを意味する。
• 定理 2.10 は、B-有界性についても $\lambda$-サポート反復において『ほぼ保存』されることを確立する。
• $\mathbb{Q}^2_{\mathcal{U}}$ が $\mathcal{U}$ 上で『ある程度完全な』C-有界性を満たすことが示され、反復定理への応用が裏付けられる。
• 命題 4.18 は、一般性拡大において、任意の $f \in {}^\lambda\lambda \cap \mathbf{V}$ が、$\mathcal{U}^{\mathbb{Q}^2_{\mathcal{U}}}$-正の集合上で $\tilde{\nu}(\alpha)$ に最終的に有界であることを確認する。
• 結論 4.12 は、反復フレームワークと強制法 $\mathbb{Q}^2_{\mathcal{U}}$ を用いて、$\lambda$ 上の2つの正規フィルターに対する支配数が異なることが一貫して成り立つことを確立する。