[論文レビュー] Reasoning about Expectation

Joseph Y. Halpern, Riccardo Pucella|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2014

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、確率、確率測度の集合、信頼関数、可能性測度という複数の不確実性表現に関する期待値を推論するための命題論理を導入し、それぞれのモデルについて健全かつ完全な公理体系を提供する。この論理は、充足可能性の検証がNP完全であることが示され、測度の集合の文脈では尤度に基づく論理よりもより表現力が高く、他の状況では同等の表現力を持つことが判明している。

ABSTRACT

Expectation is a central notion in probability theory. The notion of expectation also makes sense for other notions of uncertainty. We introduce a propositional logic for reasoning about expectation, where the semantics depends on the underlying representation of uncertainty. We give sound and complete axiomatizations for the logic in the case that the underlying representation is (a) probability, (b) sets of probability measures, (c) belief functions, and (d) possibility measures. We show that this logic is more expressive than the corresponding logic for reasoning about likelihood in the case of sets of probability measures, but equi-expressive in the case of probability, belief, and possibility. Finally, we show that satisfiability for these logics is NP-complete, no harder than satisfiability for propositional logic.

研究の動機と目的

• 多様な不確実性表現における期待値を推論する統一的論理的枠組みの構築を目的とする。
• 確率、確率測度の集合、信頼関数、可能性測度という4つの不確実性モデルにおける期待値論理の健全かつ完全な公理体系を提供することを目的とする。
• 新規の論理が既存の尤度に基づく論理と比較して、特に不確実な確率（imprecise probabilities）の文脈において、表現力がどのように異なるかを比較することを目的とする。
• 提案された論理における充足可能性の計算的複雑性を分析することを目的とする。

提案手法

• 異なる不確実性モデルにおける期待値を表すモダール型演算子を備えた命題論理として期待値を形式化する。
• 確率測度、凸集合としての測度、信頼関数、または可能性測度という下位の不確実性表現に基づいて、期待値の意味論を定義する。
• 4つの不確実性モデルそれぞれについて、健全かつ完全な公理系を構築する。
• 命題論理の充足可能性を期待値論理のケースに還元することで、充足可能性のNP完全性を証明する。
• 双対性および変換技術を用いて、尤度に基づく論理との表現力の比較を行う。
• 確率、信頼関数、可能性測度のケースでは、尤度論理と同等の表現力を持つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の不確実性モデルに適用可能な論理において、期待値を形式的にどのように捉えることができるか？
• RQ2 確率測度の集合、信頼関数、可能性測度という文脈における期待値論理の健全かつ完全な公理体系は何か？
• RQ3 期待値論理の表現力は、尤度に基づく論理と比較して、特に不確実な確率のケースにおいてどのように異なるか？
• RQ4 提案された論理における充足可能性を決定する計算的複雑性は何か？
• RQ5 特定の不確実性モデルにおいて、この論理が既存の尤度に基づく形式的枠組みと同等の表現力を持つことが示せるか？

主な発見

• この論理は、確率、確率測度の集合、信頼関数、可能性測度という4つの不確実性モデルにおける期待値について、健全かつ完全な公理体系を提供する。
• この論理における充足可能性はNP完全であり、命題論理と同等の複雑性を持つ。
• 下位モデルが確率測度の集合である場合には、この論理は尤度に基づく論理よりも厳密に表現力が強い。
• 確率、信頼関数、可能性測度のケースでは、この論理は尤度に基づく論理と同等の表現力を持つ。
• この枠組みは、多様な不確実性表現における期待値の均一な取り扱いを可能とし、人工知覚や意思決定理論における期待値に関する形式的推論を可能にする。