[論文レビュー] Reasoning About Knowledge of Unawareness

Joseph Y. Halpern, Leandro Chaves Rêgo|ArXiv.org|Mar 5, 2006

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、FaginとHalpernの一般認識論理を拡張して、命題変数に関する量化を導入することで、無知である事実の知識を扱える新たなモーダル論理を提案する。これにより、特定の事実が何かを知らないまま、自分自身が無知である事実が存在することを明示的に知ることができるとする。主な貢献は、健全かつ完全な公理体系の構築であり、論理の妥当性問題が再帰的に可算であるが、決定不能であることを証明している。

ABSTRACT

Awareness has been shown to be a useful addition to standard epistemic logic for many applications. However, standard propositional logics for knowledge and awareness cannot express the fact that an agent knows that there are facts of which he is unaware without there being an explicit fact that the agent knows he is unaware of. We propose a logic for reasoning about knowledge of unawareness, by extending Fagin and Halpern's \emph{Logic of General Awareness}. The logic allows quantification over variables, so that there is a formula in the language that can express the fact that ``an agent explicitly knows that there exists a fact of which he is unaware''. Moreover, that formula can be true without the agent explicitly knowing that he is unaware of any particular formula. We provide a sound and complete axiomatization of the logic, using standard axioms from the literature to capture the quantification operator. Finally, we show that the validity problem for the logic is recursively enumerable, but not decidable.

研究の動機と目的

• 既存の認識論理が、明示的な無知の知識を表現できないという限界を解決すること。
• 特定の事実が何かを知らないまま、自分がその事実について無知であることを知っているような現実世界の状況をモデル化すること。
• 命題変数に関する量化を一般認識論理に組み込むことで、無知の知識を捉えること。
• 拡張された論理の形式的かつ健全かつ完全な公理体系を提供すること。
• 新しい論理における妥当性問題の計算複雑性を分析すること。

提案手法

• FaginとHalpernの論理の文法を拡張し、命題変数に関する存在量化を追加する。
• Xi(∃x¬Aix) という形の論理式を導入し、エージェント i が自分自身が無知であるような論理式が存在することを明示的に知っていることを表現する。
• 認識演算子 Ai が文法的性質を持つことから、存在量化子のための非標準的意味論を構築する。
• 既存の文献から標準的な公理を用いて、量化演算子の振る舞いを捉える。
• フレームに基づく推論とモデル構築を用いて、論理の健全かつ完全な公理系を構築する。
• 妥当性問題を特定のクラスのモデルにおける充足可能性問題に還元し、それが再帰的に可算であるが決定不能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の未知の事実が何かを知らないまま、エージェントがそのような事実が存在することを明示的に知るような形式的論理は可能か？
• RQ2 どのようにして命題変数に関する量化を認識論理に統合し、無知の知識をモデル化できるか？
• RQ3 無知の知識を扱う論理における妥当性を決定する計算複雑性は何か？
• RQ4 決定不能性にもかかわらず、そのような論理に対して健全かつ完全な公理体系を提供することは可能か？
• RQ5 反射的性、ユークリッド性などの異なるモーダル性質が、論理の意味論と表現力に与える影響は何か？

主な発見

• この論理では、特定の未知の論理式を知らずとも、未知の事実が存在することを明示的に表現可能であり、たとえば Xi(∃x¬Aix) のような式で表現できる。
• 既存の量化されたモーダル論理の原則を用いた標準的な公理体系に基づき、論理は健全かつ完全である。
• この論理における妥当性問題は再帰的に可算である。つまり、妥当な論理式を有効に列挙できる。
• この論理における妥当性問題は決定不能である。これは、すべての論理式について妥当性を決定する一般のアルゴリズムが存在しないことを示している。
• 決定不能性の証明は、複数の知識レベルにわたり、有界なカウントと区別不能性の条件を模倣するモデルを構築することに依拠している。
• 認識演算子の文法的性質のため、存在量化子の意味論は非標準的であり、モデルにおける真偽条件の取り扱いに注意が必要である。