[論文レビュー] Recent Advances in the Theory of Holonomy

Robert L. Bryant|ArXiv.org|Oct 11, 1999

Advanced Algebra and Geometry被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、ねじれのない接続と不変分解可能ホロノミー群に焦点を当て、最近のホロノミー理論の進展をレビューしている。2つの未解決事例がカルタン＝カーラー理論を用いて解決され、2つの複素ホロノミー群の族に対して、3変数の関数4つに依存する解の存在が証明された。これにより、次元4以下の不変分解可能ねじれのないホロノミーの分類が完全に完成した。

ABSTRACT

This article is a report on the status of the problem of classifying the irriducibly acting subgroups of GL(n,R) that can appear as the holonomy of a torsion-free affine connection. In particular, it contains an account of the completion of the classification of these groups by Chi, Merkulov, and Schwachhofer as well as of the exterior differential systems analysis that shows that all of these groups do, in fact, occur. Some discussion of the results of Joyce on the existence of compact examples with holonomy G_2 or Spin(7) is also included.

研究の動機と目的

• 不変分解可能ねじれのないホロノミー群の分類における2つの未解決事例を解消すること。
• カルタン＝カーラー理論を応用し、2つの複素ホロノミー群の族に対して解の存在を証明すること。
• 次元4以下の不変分解可能ねじれのないホロノミーの可能性を完全に列挙すること。
• 2つの未解決事例に対して、解が3変数の関数4つに依存することを示すこと。
• GL(2,C) 内のホロノミー群 H = G_C · SL(2,R) および H = G_C · SU(2) がねじれのない接続を持つことを確認すること。

提案手法

• ホロノミー代数に関連するテーブルックスの可積分性と可積分性を解析するため、カルタン＝カーラー理論の応用。
• ホロノミーリー代数のコスタント＝コシュールコホモロジー群 K(h) および K¹(h) の計算。
• 局所解の存在を保証するため、ねじれ吸収可能性条件の使用。
• 2つの1パラメータ族のホロノミー群の分析：H_λ = {e^{(i+λ)t}} ⊂ ℂ* · SL(2,ℝ) および J_λ = {e^{(1+iλ)t}} ⊂ ℂ* · SU(2)。
• 両ケースに対して、(s₁,s₂,s₃,s₄) = (8,8,4,0) と指定された特性を持つテーブルックスが可積分であることを確認。
• カルタンの定理を用いて、解が3変数の関数4つに依存することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変分解可能ねじれのないホロノミー群の分類における2つの未解決事例は、カルタン＝カーラー解析によって解をもつのか？
• RQ2 GL(2,ℂ) 内のホロノミー群 H_λ = G_C · SL(2,ℝ) の解空間の次元は何か？
• RQ3 GL(2,ℂ) 内のホロノミー群 J_λ = G_C · SU(2) は、不変分解可能なねじれのない接続を持つのか？
• RQ4 両ケースの解空間は、カルタンの定理が予測するように、3変数の関数4つに依存するのか？
• RQ5 ホロノミー群 H_λ および J_λ は、4次元多様体上のねじれのない接続のホロノミー群として実現可能か？

主な発見

• λ > 0 の場合、ホロノミー群 H_λ = G_C · SL(2,ℝ) の解空間は、3変数の関数4つに依存する。
• H_λ のテーブルックスは特性 (8,8,4,0) を持ち可積分であり、ねじれが吸収可能であるため、解の存在が保証される。
• ホロノミー群 J_λ = G_C · SU(2) の解空間も、3変数の関数4つに依存する。
• J_λ のテーブルックスは特性 (8,8,4,0) を持ち可積分であり、ねじれが吸収可能であるため、解の存在が確認された。
• H_0 = S¹ (λ = 0) は、不変分解的でないため主結果から除外されるが、別途取り扱われる。
• 本論文は、次元4における不変分解可能ねじれのないホロノミー群の分類を、最後の2つの未解決事例を解決することで完全に完成させた。