[論文レビュー] Recent Advances of Isogeometric Analysis in Computational Electromagnetics

Zeger Bontinck, Jacopo Corno+9 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、BスプラインおよびNURBS基底関数を用いてCAD幾何と有限要素離散化を統合することにより、幾何正確で高精度な計算電磁気学の手法として、等参画的解析（IGA）を提示する。形状最適化および不確実性定量化ワークフローにおいて優れた収束性と頑健性を示し、2次元および3次元ベンチマークで最適化後、平均磁界勾配が17.5%向上し、不均一性係数が74.4%低減した。

ABSTRACT

In this communication the advantages and drawbacks of the isogeometric analysis (IGA) are reviewed in the context of electromagnetic simulations. IGA extends the set of polynomial basis functions, commonly employed by the classical Finite Element Method (FEM). While identical to FEM with N\\'ed\\'elec's basis functions in the lowest order case, it is based on B-spline and Non-Uniform Rational B-spline basis functions. The main benefit of this is the exact representation of the geometry in the language of computer aided design (CAD) tools. This simplifies the meshing as the computational mesh is implicitly created by the engineer using the CAD tool. The curl- and div-conforming spline function spaces are recapitulated and the available software is discussed. Finally, several non-academic benchmark examples in two and three dimensions are shown which are used in optimization and uncertainty quantification workflows.

研究の動機と目的

• 工業的応用において解析時間の80%がメッシュ生成に費やされるなど、電磁界シミュレーションにおける高い計算コストとメッシュ生成の複雑さに対処する。
• CADネイティブな基底関数を活用することで、複雑な幾何形状および高次離散化に対処できない古典的FEMの制限を克服する。
• 制御点による同時幾何形状と計算メッシュの変形を可能にすることで、形状最適化および不確実性定量化ワークフローのシームレスな統合を実現する。
• 体積メッシュを不要とする次元削減と、問題の次元を低減する境界要素法と組み合わせたIGAの実現可能性と利点を示す。
• curl-およびdiv-適合スプライン空間の包括的レビューと、マクスウェル方程式への応用を提供し、スペクトル的に正しい離散化を保証する。

提案手法

• CADツールに組み込まれたBスプラインおよびNURBS基底関数を用い、曲線および曲面（円錐曲線を含む）の正確なパrametrizationを実現する。
• マクスウェル方程式の微分形式と離散的に整合性を持つcurl-およびdiv-適合スプライン関数空間を採用し、重要な物理的性質を保持する。
• 等参画的フレームワーク内でのガラーキン変分式を採用し、基底関数ルーチンを除いて既存のFEMコードベースを直接再利用可能にする。
• 境界要素のみの離散化を用いた等参画的境界要素法（IGABEM）を適用し、問題の次元を低減し、三変数体積パラメータ化の必要性を回避する。
• グローバルにC1連続なスプライン空間を構築することで、高次の滑らかな解場を実現し、自由度あたりの収束速度と精度を向上させる。
• 境界要素法のフレームワークで生じる密行列線形系に対して、効率的な圧縮技術を活用し、標準的なハードウェア上での効率的解法を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IGAは、CAD幾何を直接使用することで、電磁界シミュレーションにおけるメッシュ生成作業を顕著に削減できるか？
• RQ2 NURBSに基づく基底関数の使用は、電磁界問題における古典的多項式FEMと比較して、精度と収束性をどのように向上させるか？
• RQ3 IGAは、幾何形状とメッシュの同時変形を可能にすることで、形状最適化および不確実性定量化ワークフローをどの程度支援できるか？
• RQ4 IGAと境界要素法を組み合わせることの利点と課題は何か？
• RQ5 等参画的アプローチは、マクスウェル方程式の微分形式構造とどのように離散的に整合性を保っているか？

主な発見

• Bスプライン基底関数の高いグローバルな正則性のおかげで、IGAは古典的FEMと比較して、自由度あたりの収束が速い。
• 本手法は、円錐曲線を含む複雑な幾何形状を、幾何的近似を一切行わず、CADから正確に表現可能である。
• 3次元形状最適化ベンチマークにおいて、IGAを用いた最適化後、平均磁界勾配は12.2%向上し、不均一性係数は60.0%低下した。
• 2次元ベンチマークでは、平均磁界勾配が17.5%向上し、不均一性係数が74.4%低減し、最適化ワークフローにおける優れた性能を示した。
• 等参画的境界要素法（IGABEM）は、小型で密行列の線形系を生成し、標準デスクトップコンピュータでも解ける。効率的な圧縮技術によりスケーラビリティが確保されている。
• IGAは、制御点による幾何形状とメッシュの同時変形を可能にし、再メッシュの必要性を排除することで、形状感度解析および最適化を堅牢に実現する。