[論文レビュー] Recent Developments in Non-Perturbative Quantum Gravity

Lee Smolin|ArXiv.org|Feb 7, 1992

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、ループ表現とAshtekar変数を用いて、量子重力の非摂動的定式化を提示し、空間幾何がプランクスケールで根本的に離散的であることを示している。空間の面積および体積に対する有限で微分同型不変な演算子を構成し、それらの固有値がプランク単位で量子化されることを証明した。また、大規模スケールで滑らかな古典的幾何を semiclassically 近似するウェーブ状態を導入した。

ABSTRACT

New results from the new variables/loop representation program of nonperturbative quantum gravity are presented, with a focus on results of Ashtekar, Rovelli and the author which greatly clarify the physical interpretation of the quantum states in the loop representation. These include: 1) The construction of a class of states which approximate smooth metrics for length measurements on scales, $L$, to order $l_{Planck}/L$. 2) The discovery that any such state must have discrete structure at the Planck length. 3) The construction of operators for the area of arbitrary surfaces and volumes of arbitrary regions and the discovery that these operators are finite. 4) The diagonalization of these operators and the demonstration that the spectra are discrete, so that in quantum gravity areas and volumes are quantized in Planck units. 5) The construction of finite diffeomorphism invariant operators that measure geometrical quantities such as the volume of the universe and the areas of minimal surfaces. These results are made possible by the use of new techniques for the regularization of operator products that respect diffeomorphism invariance. Several new results in the classical theory are also reviewed including the solution of the hamiltonian and diffeomorphism constraints in closed form of Capovilla, Dell and Jacobson and a new form of the action that induces Chern-Simon theory on the boundaries of spacetime. A new classical discretization of the Einstein equations is also presented.

研究の動機と目的

• 古典的時空背景に依存しない非摂動的量子重力理論を構築すること。
• 面積や体積のような幾何的観測量のための有限で微分同型不変な演算子を構築するという課題を解決すること。
• ウェーブ状態を介して、ループ表現における量子状態の物理的解釈を古典的幾何と結びつけること。
• 特に離散的幾何の出現を含め、プランクスケールにおける時空の量子的構造を理解すること。
• 運動論的および微分同型不変な空間幾何の側面に焦点を当て、完全な量子重力理論の基盤を築くこと。

提案手法

• ホロノミーとフラックスを用いて、正準量子重力をループ表現およびAshtekar変数を用いて再定式化する。
• 背景依存性を回避するため、微分同型不変性を保つ演算子積の正則化スキームを導入する。
• スピンネットワークで定義された運動論的ヒルベルト空間上に、有限で自己共役な面積および体積演算子を構成する。
• 大スケールで滑らかなリーマン計量を近似するため、ウェーブ状態の構成を適用するが、同時にプランクスケールでの離散的構造を保持する。
• 面積および体積演算子を対角化し、それらの固有値がプランクスケール単位で離散的かつ量子化されることを示した。
• 分布的フレーム場および古典的離散化を用いて、量子幾何をモデル化し、境界でのチャーン・サイモンズ理論と接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非摂動的かつ背景依存のない量子重力枠組みにおいて、面積や体積のような幾何的観測量を一貫して量子化する方法は何か？
• RQ2 ループ表現における量子状態の物理的解釈は何か？また、それらは古典的時空幾何を近似できるか？
• RQ3 プランクスケールにおける量子時空の性質は何か？離散的構造を示すか？
• RQ4 正則化および再正則化手順を、量子重力において微分同型不変性とどのように整合させられるか？
• RQ5 合計体積や最小面積のようなグローバル幾何的量を測定できる有限で微分同型不変な演算子を構築できるか？

主な発見

• スケールがプランク長よりはるかに大きな領域で滑らかな古典的計量を、精度 $ l_{\text{Planck}}/L $ まで近似する『ウェーブ状態』と呼ばれるクラスの量子状態が構成された。
• 大スケールで滑らかな計量を近似する任意の量子状態は、プランクスケールで離散的構造を示す必要があり、空間の根本的な粗い性質を示している。
• 面積および体積演算子が有限で自己共役な演算子として構成され、それらの固有値がプランク単位で量子化されることを証明した。
• 面積および体積演算子の固有値が、プランクスケール単位の離散的倍数として実際に得られることを明示的に確認した。
• 合計体積や最小面積のようなグローバル幾何的量を測定できる有限で微分同型不変な演算子が構成された。
• 古典的理論は、ハミルトニアンおよび微分同型制約を閉形式で解き、境界上でチャーン・サイモンズ理論を誘導する新しい作用を導入することで前進した。