[論文レビュー] Reciprocal cyclotomic polynomials

Pieter Moree|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$\Psi_n(x) = (x^n - 1)/\Phi_n(x)$ として定義される逆サイクロトーム多項式の係数を調査する。これは、非原始的 $n$ 次単位根である根を持つモニック整数係数多項式である。これらの係数は絶対値で対称的であり、しばしば小さい（平坦）が、任意に大きくもなる。特に、最初の非平坦なケースは $n=561$ であり、これは最小のカーマイケル数で、$c_{561}(17) = -2$ である。本稿では、相異なる素数 $p<q<r$ に対して $\Psi_{pqr}(x)$ の係数としてすべての整数が現れることを示し、係数の大きさが無限大に達することを証明する。

ABSTRACT

Let $Ψ_n(x)$ be the monic polynomial having precisely all non-primitive $n$th roots of unity as its simple zeros. One has $Ψ_n(x)=(x^n-1)/Φ_n(x)$, with $Φ_n(x)$ the $n$th cyclotomic polynomial. The coefficients of $Ψ_n(x)$ are integers that like the coefficients of $Φ_n(x)$ tend to be surprisingly small in absolute value, e.g. for $n&lt;561$ all coefficients of $Ψ_n(x)$ are $\le 1$ in absolute value. We establish various properties of the coefficients of $Ψ_n(x)$.

研究の動機と目的

• 逆サイクロトーム多項式 $\Psi_n(x) = (x^n - 1)/\Phi_n(x)$ の構造と係数の振る舞いを分析すること。これは、$n$ の真の約数 $d$ 全体に対する $\Phi_d(x)$ の積として定義される。
• 多項式 $\Psi_n(x)$ における係数の打ち消しの程度を理解すること。これは、$\Phi_n(x)$ の係数が非常に小さいことと類似しているが、その打ち消しがいつ失敗するかを特定すること。
• $V_n = \{c_n(k)\}$ という係数集合を特徴づけ、特に $-1, 0, 1$ を含む条件や、絶対値が 1 を超える係数が現れる条件を同定すること。
• 多項式 $\Psi_n(x)$ の係数が有界か無限大に発散するかを調査し、$|c_n(k)| > 1$ となる最小の $n$ を特定すること。特にカーマイケル数との関係を検討すること。

提案手法

• モビウスの反転公式を用いて、$\Phi_n(x) = \prod_{d|n} (x^d - 1)^{\mu(n/d)}$ という恒等式を導出し、これにより $\Psi_n(x) = \prod_{d|n, d<n} \Phi_d(x)$ が得られ、整数係数が保証される。
• モビウス関数 $\mu(n)$ およびラディカル関数 $\text{rad}(n)$ の性質を応用し、$n$ が奇数のとき $\Psi_{2n}(x) = (1 - x^n)\Psi_n(-x)$ や、$p|n$ のとき $\Psi_{pn}(x) = \Psi_n(x^p)$ といった再帰的恒等式を導出する。
• 関数方程式 $\Psi_n(x) = -x^{n - \varphi(n)} \Psi_n(1/x)$ を用いて対称性を確立する。$c_n(k)$ が係数であれば、$-c_n(n - \varphi(n) - k)$ も係数であり、$V_n$ がゼロの周りに対称的であることを示す。
• $n$ が高々2つの異なる奇素数因子しか持たない場合、$\Psi_n(x)$ が平坦（すべての係数が $\{-1, 0, 1\}$ に属する）であることを、構造的分解と係数解析を用いて証明する。
• 高次の $n$ に対しては、算術級数内の素数に関するディリクレの定理を用いて、$p<q<r$ となる素数の列を構成し、$\Psi_{pqr}(x)$ が任意に大きな係数を持つことを示す。
• 具体的な例を計算し、既知の公式を用いて $\Phi_{pq}(x)$ の構造を活用して係数値を導出し、特に $n = 561$ および チェリックのカーマイケル数に対して分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆サイクロトーム多項式 $\Psi_n(x)$ の係数の構造は何か？ また、$\Phi_n(x)$ の係数とはどのように異なるか？
• RQ2 $\Psi_n(x)$ の係数の絶対値が 1 に抑えられる $n$ はどのようなものか？ また、$|c_n(k)| > 1$ となる最小の $n$ は何か？
• RQ3 $\Psi_n(x)$ の係数としてすべての整数が現れるか？ もしそうなら、どのような $n$ に対して現れるか？
• RQ4 $n$ がカーマイケル数である場合、$\Psi_n(x)$ の挙動はいかなるものか？ また、$h(\Psi_n(x)) > 1$ はすべてのこのような $n$ に対して成り立つか？
• RQ5 $\{c_n(k)\}$ という係数集合がすべての整数をカバーするかどうかを示せるか？ また、与えられた $m$ に対して $|c_n(k)| = m$ となる最小の $n$ は何か？

主な発見

• 係数の絶対値が 1 を超える最小の $n$ は $n = 561 = 3 \cdot 11 \cdot 17$ であり、$c_{561}(17) = -2$ である。これは最小のカーマイケル数である。
• すべての $n$ が高々2つの異なる奇素数因子しか持たない場合、$\Psi_n(x)$ は平坦である。つまり、すべての係数が $\{-1, 0, 1\}$ に属する。これは補題 4 で示されている。
• $p<q<r$ で相異なる素数である $n = pqr$ の係数集合 $\{c_{pqr}(k)\}$ はすべての整数をカバーする。すなわち $\{c_{pqr}(k)\} = \mathbb{Z}$ である。これは定理 8 で証明されている。
• チェリックのカーマイケル数 $C = (6k+1)(12k+1)(18k+1)$ に対して、係数 $c_C(24k+2) = -2$ である。よって $h(\Psi_C(x)) = 2$ であり、これらの多項式は平坦ではない。
• $|c_n(k)| = m$ となる最小の $n$ は表にまとめられている。$m=2$ のとき $n_0=561$、$m=3$ のとき $n_0=1155$、$m=10$ のとき $n_0=11305$ であり、$m=10$ から $21$ まで $n_0$ は最小のまま維持される。
• $c_n(k)$ は対称性 $c_n(k) = -c_n(n - \varphi(n) - k)$ を満たす。よって係数集合 $V_n$ はゼロの周りに対称的であり、$n - \varphi(n)$ が偶数であれば、$c_n((n - \varphi(n))/2) = 0$ である。