[論文レビュー] Recognition of generalized network matrices

Antoine Musitelli|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2007

Graph theory and applications参考文献 44被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ネットワーク行列の一般化であるバイネット行列を認識する多項式時間アルゴリズムを提示する。実行時間はO(n⁶m)であり、非特異行列Bとノード-エッジインシデント行列Nを用いてA = B⁻¹Nを満たす双方向グラフ表現を出力する。また、カミオン基底および非負の{ε, ρ}-非コリレーションネットワーク行列についても、新たな特徴付けと認識アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

In this thesis, we deal with binet matrices, an extension of network matrices. The main result of this thesis is the following. A rational matrix A of size n×m can be tested for being binet in time O(n6m). If A is binet, our algorithm outputs a nonsingular matrix B and a matrix N such that [B N] is the node-edge incidence matrix of a bidirected graph (of full row rank) and A = B-1N. Furthermore, we provide some results about Camion bases. For a matrix M of size n × m', we present a new characterization of Camion bases of M, whenever M is the node-edge incidence matrix of a connected digraph (with one row removed). Then, a general characterization of Camion bases as well as a recognition procedure which runs in O(n2m') are given. An algorithm which finds a Camion basis is also presented. For totally unimodular matrices, it is proven to run in time O((nm)2) where m = m' – n. The last result concerns specific network matrices. We give a characterization of nonnegative {ε, ρ}-noncorelated network matrices, where ε and ρ are two given row indexes. It also results a polynomial recognition algorithm for these matrices.

研究の動機と目的

• バイネット行列（ネットワーク行列の一般化）の効率的認識アルゴリズムの開発。
• 1行削除された連結有向グラフのノード-エッジインシデント行列に対するカミオン基底の特徴付け。
• カミオン基底の一般的な特徴付けと、その効率的認識アルゴリズムの提供。
• 与えられた行インデックスεとρに対する非負の{ε, ρ}-非コリレーションネットワーク行列の特徴付けと認識。
• すべての認識および特徴付けタスクに対する多項式時間アルゴリズムの確立。

提案手法

• 双方向グラフのノード-エッジインシデント行列を用いて、[B N]がフルランクとなるようにしてバイネット行列を表現する。
• 行列の逆行列とランク条件を活用し、有理数行列Aがバイネット行列であるかどうかをB⁻¹N分解によってテストする。
• 連結有向グラフのグラフ理論的性質を応用し、カミオン基底の新たな特徴付けを導出する。
• 構造的性質に基づくインシデント行列の性質を用いて、カミオン基底の認識アルゴリズムを設計し、実行時間O(n²m')で動作させる。
• 全単位モジュラリティと行列分解技術を活用し、カミオン基底アルゴリズムの最適化を実現し、実行時間O((nm)²)にまで短縮する。
• 行インデックスの制約と行列構造に基づき、非負の{ε, ρ}-非コリレーションネットワーク行列の特徴付けを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数行列がバイネット行列かどうかを効率的にテスト可能か。その計算量はどの程度か？
• RQ2 1行削除された連結有向グラフのインシデント行列に対するカミオン基底を定義づける構造的条件は何か？
• RQ3 一般にカミオン基底はどのように特徴付けられ、その認識はどの程度の時間計算量で可能か？
• RQ4 {ε, ρ}-非コリレーションネットワーク行列を定義づける条件は何か。多項式時間で認識可能か？
• RQ5 バイネット行列および関連する行列クラスの認識の計算量はどの程度か？

主な発見

• バイネット行列の認識アルゴリズムはO(n⁶m)時間で動作し、B⁻¹N分解を用いて双方向グラフ表現を出力する。
• 1行削除された連結有向グラフのノード-エッジインシデント行列のカミオン基底は、グラフ理論的条件を用いて特徴付けられる。
• 一般のカミオン基底についての特徴付けが提供され、認識アルゴリズムはO(n²m')時間で動作する。
• 全単位モジュラリティ行列に対しては、カミオン基底認識アルゴリズムはO((nm)²)時間で動作し、ここでm = m' – nである。
• 非負の{ε, ρ}-非コリレーションネットワーク行列についての特徴付けがなされ、多項式時間の認識アルゴリズムが確立された。
• 提案されたすべてのアルゴリズムは効率的であり、行列分解とグラフ構造に基づいており、明確な時間計算量の上限が与えられている。