[論文レビュー] Recoller pour séparer

Daniel Ferrand, Bruno Kahn|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スキームの準同型 $f: T \to S$ のための「分離子」の概念を導入する。これは、非分離性をアフィン開集合の貼り合わせによって解消する、分離された $S$-スキームへの普遍的な局所同型である。分離子が存在するための必要十分条件は、対角線のスキーマ的閉包が $T \times_S T$ の両因子へ平坦かつ有限型に写像することである。この基準は、$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ 上のネーター的デデキンドスキームおよび正規基底上のエタール準同型に適用可能であり、スティーン因子化および連結成分のスキームの一般化である。

ABSTRACT

We introduce the notion of a separator for a morphism of schemes f:T o S; in particular, it is universal among morphisms from T to separated S-schemes. A separator is a local isomorphism; this property conveys the intuition of gluing some affine covering more, in order to make the scheme separated. When f is quasi-separated, its separator exists if and only if the schematic closure of the diagonal projects on both factors by flat morphisms of finite type. In particular, f admits a separator if T is Noetherian Dedekind and S=Spec(Z), or if f is étale of finite presentation and S is normal. Any normal scheme of finite type over a Noetherian ring admits an open subset containing all the points of codimension 1, which has a separator. A contrario, we give several examples of morphisms f that do not admit a separator. As an application, we attach to every smooth scheme T over a normal base S a morphism to a separated étale S-scheme of finite presentation, which is universal (a kind of separated alternative for "scheme of connected components of the fibres"). This simultaneously generalizes the classical case where the base is a field, and the case of a smooth and proper morphism (Stein factorisation).

研究の動機と目的

• アフィン開集合の貼り合わせによる局所同型を通じて、スキームを分離する普遍的構成を定義すること。
• 正規基底上の滑らかな準同型に対して、古典的なスティーン因子化およびファイバーの連結成分のスキームを一般化すること。
• 特に準分離的およびエタール設定において、準同型が分離子をもつための明確な条件を同定すること。
• 対角線のスキーマ的閉包を用いた普遍商として、代数幾何における非分離性の問題を解消すること。
• 平坦性とスキーマ的支配性を用いて、相対代数幾何における分離商の構成フレームワークを提供すること。

提案手法

• 分離子を、分離された $S$-スキーム $E$ への普遍的かつ全射な局所同型 $h: T \to E$ として定義する。ここで $h$ は準コンパクトかつ準分離的である。
• 分離子を構成するための主要な幾何的対象として、対角線 $\Delta: T \to T \times_S T$ のスキーマ的閉包を用いる。
• 分離子が存在するための必要十分条件は、$\Delta$ のスキーマ的閉包が $T \times_S T$ の両因子へ平坦かつ有限型に写像することである。
• 具体的なケースにこの基準を適用する：$T$ が $S = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ 上のネーター的デデキンドスキームであること、および $f$ が正規基底上の有限型エタール準同型であること。
• 局所同型とスキーマ的支配性を用いて、位相的に近い点を特定することで、非分離性が解消されることを保証する。
• EGA やグロタンディークの代数的空間および降下理論の結果を活用して、平坦性条件の下で普遍性および存在性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準同型 $f: T \to S$ が分離された $S$-スキームへの普遍的局所同型をもつのはいつか？
• RQ2 $f$ が $T \times_S T$ の両因子へ対角線のスキーマ的閉包を平坦かつ有限型に写像するための条件は何か？
• RQ3 古典的なスティーン因子化およびファイバーの連結成分のスキームは、正規基底上の滑らかな準同型に対して、同一の普遍的構成によって統一可能か？
• RQ4 ノーザー的環上の有限型正規スキームは、すべての余次元1点を含む開部分集合をもつが、そのような部分集合に分離子が存在する条件は何か？
• RQ5 分離子の存在に内在的な障害は存在するか？ もし存在するなら、それらは何か？

主な発見

• 準同型 $f: T \to S$ が分離子をもつための必要十分条件は、対角線 $\Delta: T \to T \times_S T$ のスキーマ的閉包が $T \times_S T$ の両因子へ平坦かつ有限型に写像することである。
• $T$ が $S = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ 上のネーター的デデキンドスキームであるとき、分離子が存在する。
• $f$ が有限型エタールかつ $S$ が正規であるとき、$f$ は分離子をもつ。
• 任意のノーザー的環上の有限型正規スキームは、すべての余次元1点を含む開部分集合をもち、その部分集合には分離子が存在する。
• 分離子をもたない準同型の明示的例が存在し、条件が鋭いことを示している。
• この構成により、滑らかな $S$-スキームから分離的かつエタールな有限型 $S$-スキームへの普遍的準同型が得られ、これは連結成分の構成およびスティーン因子化の両方を一般化する。