[論文レビュー] Reconfiguration of Dominating Sets

Akira Suzuki, Amer E. Mouawad+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2014

Advanced Graph Theory Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、グラフにおける支配集合の再構成を調査し、解空間 Dk(G) の連結性および直径の性質に注目する。ここで、頂点はサイズが k 以下の支配集合を表し、辺は1つの頂点の差異によって接続される集合間に存在する。本稿は、D_{γ(G)+1}(G) が一般に連結であるとは限らないことを示し、平面的で、有界な木幅を持つ、あるいは3部グラフであっても同様であることを示す。また、D_{γ(G)+1}(G) が指数的直径を持つグラフの無限族を構成し、n/2 以上のサイズのマッチングを含むグラフでは D_n(G) が連結で線形直径を持つことを証明する。

ABSTRACT

We explore a reconguration version of the dominating set problem, where a dominating set in a graph G is a set S of vertices such that each vertex is either in S or has a neighbour in S. In a reconfiguration problem, the goal is to determine whether there exists a sequence of feasible solutions connecting given feasible solutions s and t such that each pair of consecutive solutions is adjacent according to a specified adjacency relation. Two dominating sets are adjacent if one can be formed from the other by the addition or deletion of a single vertex. For various values of k, we consider properties of Dk(G), the graph con-sisting of a vertex for each dominating set of size at most k and edges speci ed by the adjacency relation. Addressing an open question posed by Haas and Seyffarth, we demonstrate that D (G)+1(G) is not neces-sarily connected, for (G) the maximum cardinality of a minimal dom-inating set in G. The result holds even when graphs are constrained to be planar, of bounded tree-width, or b-partite for b 3. Moreover, we construct an infinite family of graphs such that D
 (G)+1(G) has exponential diameter, for 
 (G) the minimum size of a dominating set. On the positive side, we show that Dn(G) is connected and of linear diameter for any graph G on n vertices with a matching of size at least + 1.

研究の動機と目的

• サイズが k 以下の支配集合の再構成グラフ Dk(G) の構造的性質を調査すること。
• Haas と Seyffarth が提起した D_{γ(G)+1}(G) の連結性に関する未解決問題を解決すること。
• 平面的、有界木幅、および b-部グラフを含むさまざまなグラフクラスにおける Dk(G) の直径を分析すること。
• Dk(G) が常に連結であり、かつ小さな直径を持つ条件を同定すること。
• 一般のグラフにおいて D_n(G) が線形直径を持つように連結であるための十分条件を確立すること。

提案手法

• サイズ ≤ k の支配集合を頂点とする再構成グラフ Dk(G) を構築し、1つの頂点の差異によって接続される集合間に辺を張る。
• グラフ理論的構成を用いて、D_{γ(G)+1}(G) が非連結で指数的直径を持つ無限族のグラフを生成する。
• 最小支配集合やマッチングの性質を分析するために、構造的グラフ理論を適用する。
• グラフにサイズが n/2 以上のマッチングが存在することを根拠に、D_n(G) の連結性を証明する。
• 帰納的かつ構成的証明を用いて、マッチング条件のもとで D_n(G) の線形直径の上限を示す。
• 平面的、有界木幅、b-部グラフなどの極値的グラフクラスを分析し、強い制約のもとでも否定的結果が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D_{γ(G)+1}(G) は、先行研究で予想または暗黙的に仮定されているように、すべてのグラフ G に対して必ず連結であるのだろうか？
• RQ2 D_{γ(G)+1}(G) が平面的または有界木幅グラフに制限されても、指数的直径を取る可能性があるのだろうか？
• RQ3 平面的や有界木幅といった構造的制約があるにもかかわらず、D_{γ(G)+1}(G) が非連結となるようなグラフクラスは存在するのだろうか？
• RQ4 D_n(G) が常に連結であり、かつ線形直径を持つような条件は何か？
• RQ5 大きなマッチングの存在と、D_n(G) の連結性および直径の間にはどのような関係があるのか？

主な発見

• D_{γ(G)+1}(G) は、G が平面的であったり、有界木幅を持っていたり、3部グラフであったりしても、一般に連結であるとは限らない。
• D_{γ(G)+1}(G) が指数的直径を持つ無限族のグラフが存在する。
• サイズが n/2 以上のマッチングを含む任意の n 頂点グラフ G に対して、D_n(G) は連結である。
• 同じマッチング条件のもとで、D_n(G) の直径は n に対して線形である。
• Haas と Seyffarth が提起した D_{γ(G)+1}(G) の連結性に関する未解決問題が解決された。
• D_{γ(G)+1}(G) に対して非連結で指数的直径を持つグラフの構成は、複数の自然なグラフクラスにわたって成立する。