[論文レビュー] Reconfiguration of Spanning Trees with Many or Few Leaves

Nicolás Bousquet, Takehiro Ito+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、エッジフリップを用いて1つのスパニングツリーを別のものに変換する際、全過程でリーブの数に関する制約を保ったまま行う際の計算複雑性を調査する。少なくともk個のリーブを維持する問題と、高々k個のリーブを維持する問題（k ≥ 3）の両方が、PSPACE完全であることを証明している。これは、二部グラフ、スプリットグラフ、平面グラフといった制限付きグラフクラスに対しても成り立つ。この結果により、エッジフリップ再配置問題におけるPSPACE困難性の最初の既知の例が確立された。

ABSTRACT

Let $G$ be a graph and $T_1,T_2$ be two spanning trees of $G$. We say that $T_1$ can be transformed into $T_2$ via an edge flip if there exist two edges $e \in T_1$ and $f$ in $T_2$ such that $T_2= (T_1 \setminus e) \cup f$. Since spanning trees form a matroid, one can indeed transform a spanning tree into any other via a sequence of edge flips, as observed by Ito et al. We investigate the problem of determining, given two spanning trees $T_1,T_2$ with an additional property $Π$, if there exists an edge flip transformation from $T_1$ to $T_2$ keeping property $Π$ all along. First we show that determining if there exists a transformation from $T_1$ to $T_2$ such that all the trees of the sequence have at most $k$ (for any fixed $k \ge 3$) leaves is PSPACE-complete. We then prove that determining if there exists a transformation from $T_1$ to $T_2$ such that all the trees of the sequence have at least $k$ leaves (where $k$ is part of the input) is PSPACE-complete even restricted to split, bipartite or planar graphs. We complete this result by showing that the problem becomes polynomial for cographs, interval graphs and when $k=n-2$.

研究の動機と目的

• エッジフリップを用いたリーブ数制約下でのスパニングツリー再配置の複雑性を調査すること。
• 各ステップで少なくともk個のリーブを維持しながら、2つのスパニングツリー間の変換が可能かどうかを特定すること。
• エッジフリップ変換中に高々k個のリーブを維持する問題の複雑性を分析すること。
• 一般にPSPACE完全であるにもかかわらず、問題が tractable になるグラフクラスを同定すること。
• 特に小さなk値や特殊なグラフ族に対して、 tractable と intractable なインスタンスの境界を探索すること。

提案手法

• 高々k個のリーブを維持する問題のPSPACE完全性を示すために、VERTEX COVER から HAMILTONIAN PATH への還元を用いる。
• 区間グラフおよびコグラフにおけるC最小スパニングツリーと標準的ツリー構造を用いて、連結性を分析する。
• 内部ノードおよびリーブの接続に関する構造的制約を課したエッジフリップ列の適用。
• 頂点順序の逆帰納法を用いて、部分グラフにおける接続性を特定するための臨界ノード（r′_v, ℓ′_v）を計算する。
• スパニングツリーのマトロイド性を活用して、制約なしの場合のエッジフリップ列の存在を保証する。
• 部分グラフ（Hv, R(Hv, k′_v)）上の再配置グラフを定義・分析し、連結成分の接続性を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 少なくともk個のリーブを維持しながら1つのスパニングツリーを別のものに変換する問題はPSPACE完全か？
• RQ2 k ≥ 3 の場合、高々k個のリーブを維持する問題は、二部グラフやスプリットグラフ、平面グラフといった制限付きグラフクラスに対してもPSPACE完全か？
• RQ3 k = n − 2 またはコグラフや区間グラフといった特殊なグラフクラスでは、問題が多項式時間で解けるか？
• RQ4 わずかに余剰なリーブがある状態でも、再配置が不可能な特定のグラフ障害要因は存在するか？
• RQ5 再配置グラフの接続性を決定づけるスパニングツリーの構造的性質（例：C最小性、内部ノードの順序）は何か？

主な発見

• 少なくともk個のリーブを維持しながらスパニングツリーを変換する問題は、二部グラフ、スプリットグラフ、平面グラフに対してもPSPACE完全である。
• 任意のk ≥ 3 に対して高々k個のリーブを維持する問題はPSPACE完全であり、エッジフリップ再配置問題におけるPSPACE困難性の最初の既知の例を確立した。
• コグラフおよび区間グラフでは、k = n − 2 の場合、問題は多項式時間で解ける。
• 区間グラフでは、C最小性のチェックと臨界ノード r′_v および ℓ′_v の計算により、変換の存在を多項式時間で決定できる。
• 区間グラフにおいて2つのC最小スパニングツリー間で変換が存在するための必要十分条件は、それらの2番目の内部ノードが等しく、対応する部分グラフ内での部分木が連結であることである。
• 外平面グラフには再配置の障害が存在し、例えばC4に余分な辺を加えたものや2本の並行パスが含まれるため、このようなクラスでは構造的制限が生じる。