[論文レビュー] Reconsideration of the multivariate moment problem and a new method for approximating multivariate integrals

Ognyan Kounchev, Hermann Render|ArXiv.org|Sep 16, 2005

Mathematical functions and polynomials参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、球面調和関数におけるラプラス＝フーリエ係数が非負である測度である擬正測度を導入し、多変数モーメント問題を再定式化する。多項式を高々 2p−1 次まで正確に積分できる最小台付き測度を構築することで、ガウス＝ヤコビ求積の一般化である新しい求積公式を開発し、多変数積分の安定的かつ高精度な近似を可能にする。

ABSTRACT

Due to its intimate relation to Spectral Theory and Schrödinger operators, the multivariate moment problem has been a subject of many researches, so far without essential success (if one compares with the one--dimensional case). In the present paper we reconsider a basic axiom of the standard approach - the positivity of the measure. We introduce the so--called pseudopositive measures instead. One of our main achievements is the solution of the moment problem in the class of the pseudopositive measures. A measure \ $μ$ is called pseudopositive if its Laplace-Fourier coefficients $μ_{k,l}(r) ,$ $r\geq0,$ in the expansion in spherical harmonics are non--negative. Another main profit of our approach is that for pseudopositive measures we may develop efficient ''cubature formulas'' by generalizing the classical procedure of Gauss--Jacobi: for every integer \ $p\geq1$ we construct a new pseudopositive measure $ν_{p}$ having ''minimal support'' and such that $μ(h) =ν_{p}(h) $ for every polynomial $h$ with $Δ^{2p}h=0.$ The proof of this result requires application of the famous theory of Chebyshev, Markov, Stieltjes, Krein for extremal properties of the Gauss-Jacobi measure, by employing the classical orthogonal polynomials $p_{k,l;j},$ $j\geq0,$ with respect to every measure $μ_{k,l}.$ As a byproduct we obtain a notion of multivariate orthogonality defined by the polynomials $p_{k,l;j}$. A major motivation for our investigation has been the further development of new models for the multivariate Schrödinger operators, which generalize the classical result of M. Stone saying that the one--dimensional orthogonal polynomials represent a model for the self--adjoint operators with simple spectrum.

研究の動機と目的

• 古典的な単変数モーメント理論を高次元に拡張する際の長年の難問、すなわち正値条件の検証が困難であるという問題に取り組む。
• 多変数モーメント問題における非負測度の限界を克服するため、符号付き測度の新クラスである擬正測度を導入する。
• ガウス＝ヤコビ求積の一般化を用いて、多変数積分を安定的かつ効率的に近似する手法を開発する。
• 球面調和関数と径方向直交多項式に基づく多変数直交性フレームワークを確立する。
• 多項調和関数の積分近似のための計算ツールを提供し、スペクトル理論や逆問題への応用を含む。

提案手法

• ラプラス＝フーリエ係数 μ_{k,l}(r) がすべての r ≥ 0 に対して非負である測度を、擬正測度と定義する。
• 関数を球面調和関数に分解し、多変数問題を [0, ∞) 上の径方向測度 μ_{k,l} に還元する。
• チェビシェフ、マークフ、シュタイルチェス、クレインの古典的極値理論を用いて、各 μ_{k,l} に対して最小台付き測度 σ_{k,l}^{(s)} を構成する。
• 各 σ_{k,l}^{(s)} を組み合わせて求積公式 ν^{(s)} を構築し、すべての多項式 h について ∫h dμ = ∫h dν^{(s)} が成り立つようにする。ただし Δ^{2p}h = 0 を満たすものとする。
• 各 μ_{k,l} に関する直交多項式 p_{k,l;j} を用い、ガウス＝ヤコビ型手順により求積ノードと重みを構築する。
• ノード数と調和次数を増やすことで数値的安定性を確保し、多項調和空間の構造によって収束が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な多変数モーメント問題は、計算の実行可能性を保ちつつ符号付き測度を許容する形に再定式化可能か？
• RQ2 高精度かつ安定性を維持する多変数ガウス＝ヤコビ求積の一般化は構築可能か？
• RQ3 測度のどの条件が、そのモーメントが最小台付き符号付き測度によって近似可能であることを保証するか？
• RQ4 球面調和関数を用いて、直交多項式の理論を多変数設定に拡張することは可能か？
• RQ5 多項調和関数は、多変数求積公式の正確性空間を定義する役割を果たすか？

主な発見

• 本稿では、非負のラプラス＝フーリエ係数をもつ擬正測度のクラス内で、多変数モーメント問題の解を確立する。
• 任意の整数 p ≥ 1 に対して、すべての多項式 h について ∫h dμ = ∫h dν_p を満たす最小台付き擬正測度 ν_p が構成される。ただし Δ^{2p}h = 0 を満たすものとする。
• 関数を球面調和関数に分解し、径方向成分に単変数求積を適用することで、ガウス＝ヤコビ求積を多変数積分に一般化する。
• 径方向測度 μ_{k,l} に古典的極値理論を適用することで、最適なノードと重みの存在が保証される。
• ノード数と調和次数を増やしても、得られる求積公式は数値的に安定である。
• 本手法は、逆問題やポテンシャル論に関連する多項調和的測度の等価性に関する新しい枠組みを提供する。