[論文レビュー] Reconsidering the Ostrogradsky theorem: Higher-derivatives Lagrangians, Ghosts and Degeneracy

Alexander Ganz, Karim Noui|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 60被引用数 30

ひとこと要約

オストログラドスキーの不安定性の包括的なレビュー、退化が高階導関数を持つ理論におけるゴーストを回避する方法、および複数の変数、量子側面、共変理論への拡張を含み、新たな退化制約に関する結果を含む。

ABSTRACT

We review the fate of the Ostrogradsky ghost in higher-order theories. We start by recalling the original Ostrogradsky theorem and illustrate, in the context of classical mechanics, how higher-derivatives Lagrangians lead to unbounded Hamiltonians and then lead to (classical and quantum) instabilities. Then, we extend the Ostrogradsky theorem to higher-derivatives theories of several dynamical variables and show the possibility to evade the Ostrogradsky instability when the Lagrangian is "degenerate", still in the context of classical mechanics. In particular, we explain why higher-derivatives Lagrangians and/or higher-derivatives Euler-Lagrange equations do not necessarily lead to the propagation of an Ostrogradsky ghost. We also study some quantum aspects and illustrate how the Ostrogradsky instability shows up at the quantum level. Finally, we generalize our analysis to the case of higher order covariant theories where, as the Hamiltonian is vanishing and thus bounded, the question of Ostrogradsky instabilities is subtler.

研究の動機と目的

• 古典力学における元のオストログラドスキー定理と、それが高階導関数を持つラグランジアンに及ぼす影響を要約する。
• 複数の動的変数を持つ系に対して、ラグランジアンの退化がどのようにオストログラドスキーの不安定性を回避できるかを説明する。
• 退化が高階の運動方程式を低次の系に縮約し、主制約・副制約を特定する様子を示す。
• パイス–ユーレンベックを含む特定のモデルにおける量子側面とオストログラドスキーのゴーストの運命、正則変数との結合を含む。
• 共変理論へ議論を一般化し、オンシェルでハミルトニアンがゼロになる場合の微妙な点を扱う。

提案手法

• L(\u000b7\u0011) 型ラグランジアンに対する標準的なオストログラドスキー解析を提示し、無界なハミルトニアンを導く。
• 多変数および結合系へ拡張し、退化が生じる条件を示す。
• 主制約および副制約を明らかにし、それらがゴースト自由度を取り除く方法を示すためのハミルトニアン解析を行う。
• 明示的な退化ラグランジアン形を提供し、高階オイラー-ラグランジュ方程式を2次系へ縮約する。
• 量子化の問題と、オストログラドスキーの不安定性が量子レベルでどのように現れるかをレビューし、Pais–Uhlenbeck の事例を含む。
• 共変理論へ一般化し、オンシェルでハミルトニアンが消える可能性がある場合の不安定性の微妙さを論じる。）

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件の下で高階導関数を持つラグランジアンはオストログラドスキーのゴーストを伝搬するか。
• RQ2 ラグランジアンまたは運動エネルギーマトリクスの退化はゴースト自由度をどのように除去または隠蔽するか。
• RQ3 複数変数系においてゴーストフリーな進化を保証するハミルトニアンおよび制約構造は何か。
• RQ4 高階導関数理論において量子論的側面はオストログラドスキー不安定性をどのように顕在化させるか、または抑制するか。
• RQ5 共変・一般相対論的設定へオストログラドスキー解析を拡張するときに何が変わるか。

主な発見

• 非退化の高階導関ラグランジアンは一般的にオストログラドスキーのゴーストを伝搬し、ハミルトニアンは無界になる。
• 退化は主制約および副制約を導入し、オストログラドスキーのゴーストを除去し、有効自由度を削減できる。
• 運動エネルギー行列 det(L_{\u00b7\u0007}) が中心的な役割を果たす：det(K)=0 は退化を示し、ゴーストを除去する可能性を示す。
• 退化ラグランジアンは高階導関が存在しても二次の有効運動方程式を生み出すことがある。
• 量子解析（例：Pais–Uhlenbeck）では、結合と周波数構造に依存して不安定性が生じ得る一方、回避されることも示される。
• 共変理論では、オンシェルでハミルトニアンが消失することが微妙さを導入し、ゴースト自由度の慎重な評価を必要とする。