[論文レビュー] Reconstructing quantum states efficiently

M. Cramer, Martin B. Plenio|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特異値しきい値処理（SVT）と行列積状態（MPS）表現を組み合わせることで、標準的量子トモグラフィーに対して指数的高速化を達成するスケーラブルな量子状態再構成手法を提示する。この手法により、純粋状態および混合状態の効率的再構成が可能となり、大規模な系（数百キュービット）に対しても、線形数の測定と多項式時間の古典的後処理で実現可能である。

ABSTRACT

Quantum state tomography, the ability to deduce the density matrix of a quantum system from measured data, is of fundamental importance for the verification of present and future quantum devices. It has been realized in systems with few components but for larger systems it becomes rapidly infeasible because the number of quantum measurements and computational resources required to process them grow exponentially in the system size. Here we show that we can gain an exponential advantage over direct state tomography for quantum states typically realized in nature. Based on singular value thresholding and matrix product state methods we introduce a state reconstruction scheme that relies only on a linear number of measurements. The computational resources for the postprocessing required to reconstruct the state with high fidelity from these measurements is polynomial in the system size.

研究の動機と目的

• 多数体系における標準的量子トモグラフィーの指数的資源スケーリングを解決すること。
• 測定および計算のオーバーヘッドのため、約40キュービットを超える系では完全な状態再構成が非現実的となる問題を克服すること。
• 量子シミュレーターや情報処理装置における量子状態準備の検証を可能にするスケーラブルな手法を開発すること。
• 局所ハミルトニアンの基底状態および熱状態を、縮約密度行列を用いて効率的に再構成すること。
• 中〜大規模量子デバイスに対して、半定値計画法ベースのトモグラフィーの実用的でスケーラブルな代替手段を提供すること。

提案手法

• 行列補完問題を解くために特異値しきい値処理（SVT）を用い、不完全な測定から全密度行列を再構成する。
• 量子状態を行列積状態（MPS）で表現することで、低エンタングルメント状態の効率的保存および操作を可能にする。
• 連続する部分系における局所的測定からの縮約密度行列を一致させることで、グローバル状態を再構成する。
• 測定値と再構成された縮約密度行列の差を最小化するために、SVTを繰り返し適用する。
• MPS表現を用いて計算コストとメモリ要件を低減し、全密度行列の保存を回避する。
• 混合状態への拡張のために純化を用いる：Nキュービットの混合状態を2Nキュービットの純粋状態として表現し、局所的制約を用いて再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的トモグラフィーが失敗する大規模量子系において、量子状態再構成を効率的に行えるか？
• RQ2 小さな部分系の局所的縮約密度行列からのみ、量子状態が一意に再構成可能か？
• RQ3 特異値しきい値処理を量子設定に適応させ、スケーラブルで低ランクの行列補完を達成できるか？
• RQ4 行列積状態は、最小限の計算コストで物理的に関連のある量子状態をどれほど正確に表現できるか？
• RQ5 純化と局所的制約を用いて、この手法を混合状態および局所ハミルトニアンの熱状態に拡張できるか？

主な発見

• 本手法は、システムサイズに従って指数的から線形に低下する測定および計算リソースにより、標準的トモグラフィーに対して指数的優位性を達成する。
• アルゴリズムは、線形数の測定と多項式時間の古典的後処理のみで、高い保証性を有する量子状態再構成を実現する。
• 数値シミュレーションでは、20イオンのW状態再構成において収束が確認され、ガウスノイズ（標準偏差最大0.01）に対してもロバストである。
• 再構成の保証性（|⟨ϕ|yn⟩|²）は反復回数の増加に伴い向上し、ノイズのある条件下でも安定した収束が示された。
• 全密度行列表現を避ける効率的なMPS-SVTハイブリッドのおかげで、数百キュービットの系に対してもスケーラブルである。
• イオントラップを用いたW状態生成実験（標準的トモグラフィーでは8キュービットまで）における量子状態準備の効率的検証が可能になる。