[論文レビュー] Reconstructing the potential for the 1D Schrödinger equation from boundary measurements

Sergei Avdonin, Victor Mikhaylov+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、境界制御法を用いて境界測定値から1次元シュレーディンガー方程式のポテンシャルを再構成する新しいアルゴリズムを提示する。境界からのノイマンデータからスペクトルおよびスペクトル関数を回復することで、逆問題を古典的逆スペクトル問題に還元し、有限個の固有値が既知である場合に、再構成されたポテンシャルが $ H^{-1}(0,1) $ で収束することを示している。

ABSTRACT

We consider the inverse problem of the determining the potential in the dynamical Schrödinger equation on the interval by the measurement on the whole boundary. Provided that source is \emph{generic} using the Boundary Control method we recover the spectrum of the problem from the observation at either left or right end points. Using the specificity of the one-dimensional situation we recover the spectral function, reducing the problem to the classical one which could be treated by known methods. We adapt the algorithm to the situation when only the finite number of eigenvalues are known and provide the result on the convergence of the method.

研究の動機と目的

• 1次元シュレーディンガー方程式のポテンシャル $ q(x) $ を、解の空間微分の境界測定値から回復する逆問題を解くこと。
• 境界トレース $ \{u_x(0,t), u_x(1,t)\} $ からスペクトルデータ（固有値およびスペクトル関数）を回復する手法を確立すること。
• 有限個の固有値しか入手できない現実的状況に適応する逆スペクトル再構成法を構築すること。
• 有限データ条件下で再構成されたポテンシャルが $ H^{-1}(0,1) $-ノルムで収束することを証明すること。
• 実際の測定制約のもとで、アルゴリズムの安定性と実用可能性を示すこと。

提案手法

• 境界制御法（BCM）を適用し、境界データ $ r_0(t) $ もしくは $ r_1(t) $ から定義される積分作用素を含む一般化固有値問題を導出する。
• 一般化固有値問題の解を用いて、固有値 $ \lambda_k $ および積 $ a_k \phi_k'(0) $, $ a_k \phi_k'(1) $（$ a_k $ は初期データのフーリエ係数）を回復する。
• 1次元構造を活用して、回復されたスペクトルデータからスペクトル関数 $ \rho(\lambda) $ を再構成する。
• 元の逆問題を、ゲルファンド＝レヴィタン、クレイン、またはBCM法で解ける古典的逆スペクトル問題に還元する。
• 有限個の固有値を用いてスペクトルデータを近似し、近似カーネル $ \widetilde{c}_{n,N}^\tau $ の列を構成して、近似ポテンシャル $ \widetilde{q}_{n,N} $ の列を定義する。
• カーネルの均一近似のもとで、$ n \to \infty $ のとき $ \widetilde{q}_{n,N} $ が真のポテンシャル $ q $ に $ H^{-1}(0,1) $-ノルムで収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元シュレーディンガー作用素のスペクトルは、解の空間微分の境界測定値から回復可能か？
• RQ2 1次元構造と固有値問題の性質を用いて、境界データのみからスペクトル関数をどのように再構成できるか？
• RQ3 有限個の固有値しか入手できない場合に、ポテンシャル再構成アルゴリズムの収束挙動はいかなるものか？
• RQ4 有限データ近似のもとで逆問題は安定か？ どのようなノルム収束が保証できるか？
• RQ5 不完全なスペクトルデータのもとで、収束を保ちながら実用的状況に適応できるか？

主な発見

• シュレーディンガー作用素の固有値 $ \lambda_k $ は、境界データ $ r_0(t) $ を用いた積分作用素を含む一般化固有値問題から回復される。
• 1次元構造を活用してスペクトル関数 $ \rho(\lambda) $ を再構成し、逆問題を古典的逆スペクトル理論に還元する。
• 有限個の固有値しか入手できない場合、アルゴリズムは近似ポテンシャル $ \widetilde{q}_{n,N} $ を構築し、$ n \to \infty $ のとき真のポテンシャル $ q $ に $ H^{-1}(0,1) $-ノルムで収束する。
• 収束は一様であり、任意の $ t \in (0,1) $ に対して $ \int_0^t \widetilde{q}_{n,N}(s)\,ds \rightrightarrows \int_0^t q(s)\,ds $ が成り立つ。
• この方法により $ \widetilde{q}_{n,N} \to q $ が $ H^{-1}(0,1) $ で成り立ち、平均 $ \frac{1}{\varepsilon} \int_t^{t+\varepsilon} \widetilde{q}_{n,N}(s)\,ds $ の収束が $ t $ および $ \varepsilon $ に関して一様になる。
• スキームの安定性は境界データの収束型に強く依存しており、現在は $ r_n \to r $ のほとんど everywhere での点収束を仮定している。より強い収束仮定のもとで、安定性の向上が期待できる。