[論文レビュー] Reconstruction Algorithms for Positron Emission Tomography and Single Photon Emission Computed Tomography and their Numerical Implementation

A. S. Fokas, Arieh Iserles+1 more|ArXiv.org|Dec 4, 2004

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非線形可積分系の数学的技法を用いて、PETおよびSPECTのための新しい解析的再構成アルゴリズムを提示しており、ラドン変換および減衰ラドン変換の正確な逆転を可能にしている。三次スプライン近似による数値実装により、シップ・ローガンなどの標準アンブレットの再構成が高精度で達成され、フィルタリングによってギブスの振動が低減され、臨床的画像診断への応用における手法の頑健性が裏付けられている。

ABSTRACT

The modern imaging techniques of Positron Emission Tomography and of Single Photon Emission Computed Tomography are not only two of the most important tools for studying the functional characteristics of the brain, but they now also play a vital role in several areas of clinical medicine, including neurology, oncology and cardiology. The basic mathematical problems associated with these techniques are the construction of the inverse of the Radon transform and of the inverse of the so called attenuated Radon transform respectively. We first show that, by employing mathematical techniques developed in the theory of nonlinear integrable equations, it is possible to obtain analytic formulas for these two inverse transforms. We then present algorithms for the numerical implementation of these analytic formulas, based on approximating the given data in terms of cubic splines. Several numerical tests are presented which suggest that our algorithms are capable of producing accurate reconstruction for realistic phantoms such as the well known Shepp--Logan phantom.

研究の動機と目的

• 非線形可積分方程式の数学的技法を用いて、PETおよびSPECTにおける放射性薬剤分布の正確な解析的公式の開発を目的とする。
• 実用的再構成のため、三次スプライン近似を用いたこれらの解析的公式の数値実装を目的とする。
• 実際の画像条件下で、シップ・ローガンアンブレットおよび胸部モデルを含む現実的な医療アンブレットに対して、アルゴリズムの妥当性を検証することを目的とする。
• 特定のフィルタリング手順により、ギブス＝ウィルブレハム現象のような数値アーティファクトを低減することを目的とする。
• 中間データ（例：200点ではなく10点）の粗いサンプリングが、正確な再構成に十分であることを示し、計算コストの低減を目的とする。

提案手法

• PETの逆ラドン変換は、非線形可積分方程式の数学的技法を用いて導出され、放射性薬剤分布 g(x₁,x₂) の正確な解析的公式が得られた。
• SPECTの減衰ラドン変換についても同様に解析的技法を用いて逆転され、CTで測定された減衰 f(x₁,x₂) を考慮した。
• 数値実装は、測定データを三次スプラインで近似することに依存し、逆変換の安定的かつ高精度な計算を可能にした。
• スプライン補間および積分関係を用いて、中間関数 h(ρ,θ), fᶜᵐᵉ(ρ,θ), fˢᵐᵉ(ρ,θ), hᶜ(ρ,θ), hˢ(ρ,θ), および I(τ,ρ,θ) が計算された。
• 逆公式 (3.10) を用いて2次元グリッド上で再構成が行われ、最終的な画像 g(x₁,x₂) は計算された関数 r(τ,ρ,θ) から再構成された。
• 後処理にはフィルタリングが含まれ、PETでは平均化フィルタ（a=0.005）を5回適用し、しきい値処理（最大値の1/20未満の値を0に設定）を実施した。SPECTでは中央値フィルタとしきい値処理を実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形可積分系から導かれた解析的逆転公式は、PETおよびSPECTにおける逆ラドン変換および減衰ラドン変換に効果的に適用可能か？
• RQ2 三次スプラインに基づく数値実装は、シップ・ローガンアンブレットのような複雑な医療アンブレットの高精細再構成を達成可能か？
• RQ3 ラドン変換データの粗いサンプリング（例：200点ではなく10点）が、再構成精度を維持し、計算負荷を低減できる程度にまで及ぶか？
• RQ4 平均化フィルタおよび中央値フィルタとしきい値処理を組み合わせたフィルタリング手法は、再構成画像におけるギブス＝ウィルブレハムアーティファクトをどれほど効果的に低減できるか？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは、ヒトの胸部および心筋を模倣する臨床的関連アンブレットに対しても正確な再構成を達成できるか？

主な発見

• 提案された解析的再構成アルゴリズムは、視覚的比較により、フィルタリング前後でシップ・ローガンアンブレットおよび臨床アンブレットを高精細に再構成した。
• 三次スプライン近似の使用により、データサンプリングが限られた状況下でも、逆変換の安定的かつ高精度な数値実装が可能となった。
• フィルタリング手順（PETでは平均化としきい値処理（a=0.005）、SPECTでは中央値フィルタとしきい値処理）により、再構成画像におけるギブス＝ウィルブレハムアーティファクトが顕著に低減された。
• 中間データが t に関して10個の等間隔点でのみサンプリングされても再構成精度が維持されることから、顕著な計算コストの低減が可能であることが示された。
• PETでは500×500グリッド、SPECTでは140×140グリッドにおいても正確な再構成が達成され、標準的な画像グリッドにおけるスケーラビリティと頑健性が確認された。
• 非線形可積分系に基づく数学的枠組みが、臨床的PETおよびSPECT再構成のための実用的かつ正確な道筋を提供することが、結果から裏付けられた。