[論文レビュー] Reconstruction mechanism with self-growing equations for hyper, improper and proper fractional chaotic systems through a novel non-Lyapunov approach

Fei Gao, Feng-Xia Fei+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2012

Chaos control and synchronization被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、遺伝的演算に基づく自己成長型分数階微分方程式機構を用いて、ハイパーや不適切、適切な分数階カオス的システムの、非リャプノフな再構成手法を提案する。分数階微分方程式を独立変数として扱い、非負の特別関数の目的関数を最小化することで、パラメータや次数が完全に未知であっても、高い精度と頑健性を発揮する。シミュレーションにより、ローレンツ、チェン、ローシャーおよびその他のシステムで収束が確認され、正確なモデルへの再構成に成功した。

ABSTRACT

Identification of the unknown parameters and orders of fractional chaotic systems is of vital significance in controlling and synchronization of fractional-order chaotic systems. However there exist basic hypotheses in traditional estimation methods, that is, the parameters and fractional orders are partially known or the known data series coincide with definite forms of fractional chaotic differential equations except some uncertain parameters and fractional orders. What should I do when these hypotheses do not exist? In this paper, a non-Lyapunov novel approach with a novel united mathematical model is proposed to reconstruct fractional chaotic systems, through the fractional-order differential equations self-growing mechanism by some genetic operations ideas independent of these hypotheses. And the cases of identifying the unknown parameters and fractional orders of fractional chaotic systems can be thought as special cases of the proposed united mathematical reconstruction method in non-Lyapunov way. The problems of fractional-order chaos reconstruction are converted into a multiple modal non-negative special functions' minimization through a proper translation, which takes fractional-order differential equations as its particular independent variables instead of the unknown parameters and fractional orders. And the objective is to find best form of fractional-order differential equations such that the objective function is minimized. Simulations are done to reconstruct a series of hyper and normal fractional chaotic systems. The experiments' results show that the proposed self-growing mechanism of fractional-order differential equations with genetic operations is a successful methods for fractional-order chaotic systems' reconstruction, with the advantages of high precision and robustness.

研究の動機と目的

• カオス的システム再構成において、従来の手法が部分的に既知のパラメータや分数量を必要としているという制限を克服すること。
• リャプノフ安定性理論に依存しない、ハイパーカオス的および不適切・適切な分数量カオス的システムを統一的に再構成する数学的フレームワークの構築。
• 最適化に基づく新規アプローチにより、カオス的システムにおける未知のパラメータおよび分数量の同定を可能にすること。
• 遺伝的演算に自己成長型方程式機構を統合することで、既存のメタヒューリスティック手法の感度と収束問題を克服すること。
• ローレンツ、チェン、ローシャー、リウ型など多様なカオス的システムにおいて、提案手法の頑健性と正確性を実証すること。

提案手法

• 分数量微分方程式を未知パラメータではなく独立変数として扱う、新規の統一的数学的モデルを導入。
• 目的関数の適切な変換を用いて、再構成問題を複数モードの非負の特別関数最小化問題に変換。
• 候補となる分数量微分方程式の構造を自己成長させるために、遺伝的演算（選択、交差、変異）を適用。
• 目的関数は、観測された軌道とシミュレートされた軌道の差の二乗和として定義され、進化的計算により最適化される。
• 無限ループを回避するため、シミュレーション中にNaNおよび無限大値を0に強制割り当てする戦略を採用し、アルゴリズムの安定性を確保。
• 本手法はアルゴリズム1として実装され、反復的に候補システムを進化させ、分数量常微分方程式の数値積分を用いて適合度を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータおよび分数量が完全に未知である状況でも、リャプノフに基づく手法に依存せずに分数量カオス的システムを再構成可能か？
• RQ2 データから正しいシステム構造を自動で発見できる、分数量微分方程式の自己成長型メカニズムをどのように設計できるか？
• RQ3 提案手法の非リャプノフ的手法は、ハイパーカオス的および不適切分数量カオス的システムの再構成において、既存手法と比較してどの程度優れているか？
• RQ4 本手法の成功は、初期条件、サンプリング間隔、データ点数にどの程度依存するか？
• RQ5 ローレンツ、チェン、ローシャー、リウ型など多様なカオス的システムにおいて、システムダイナミクスの事前知識がなくても、高い精度での再構成が可能か？

主な発見

• 提案手法は、ハイパーカオス的および通常の分数量カオス的システム、特にローレンツ、チェン、ローシャー、リウ系において、高い精度で再構成に成功した。
• シミュレーションでは、分数量ローレンツ系の正しい形式 D^q3_t z = x·y - (8/3)·z への収束が確認された。
• 複数のテストケースにおいて、目的関数値が世代を経て減少する傾向を示し、図11および図12で示された。
• 分数量ローレンツ系では、D^q3_t z = x·y - (8/3)·z の正しい形式が同定されたが、パラメータ b = 8/3 への収束は困難であった。
• 平均および最良の目的関数値（lg F）は世代を経て減少し、効果的な最適化が行われていることが示された。100～200点のデータ点で収束が観察された。
• NaN／無限大値を0に強制割り当てする戦略により、発散個体への感受性が低減され、目的関数最小化を損なわずにアルゴリズムの安定性が確保された。