[論文レビュー] Reconstruction of finite Quasi-Probability and Probability from Principles: The Role of Syntactic Locality

Jacopo Surace|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2026

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ひとこと要約

この論文は、有限ブール集合上の普遍的評価に基づく構造的な規則から、(準)確率の厳密な再構成を行い、事前確率、標準的な準確率領域、および一般化ベイズ定理を生み出す。

ABSTRACT

Quasi-probabilities appear across diverse areas of physics, but their conceptual foundations remain unclear: they are often treated merely as computational tools, and operations like conditioning and Bayes' theorem become ambiguous. We address both issues by developing a principled framework that derives quasi-probabilities and their conditional calculus from structural consistency requirements on how statements are valued across different universes of discourse, understood as finite Boolean algebras of statements.We begin with a universal valuation that assigns definite (possibly complex) values to all statements. The central concept is Syntactic Locality: every universe can be embedded within a larger ambient one, and the universal valuation must behave coherently under such embeddings and restrictions. From a set of structural principles, we prove a representation theorem showing that every admissible valuation can be re-expressed as a finitely additive measure on mutually exclusive statements, mirroring the usual probability sum rule. We call such additive representatives pre-probabilities. This representation is unique up to an additive regraduation freedom. When this freedom can be fixed canonically, pre-probabilities reduce to finite quasi-probabilities, thereby elevating quasi-probability theory from a computational device to a uniquely determined additive representation of universal valuations. Classical finite probabilities arise as the subclass of quasi-probabilities stable under relativisation, i.e., closed under restriction to sub-universes. Finally, the same framework enables us to define a coherent theory of conditionals, yielding a well-defined generalized Bayes' theorem applicable to both pre-probabilities and quasi-probabilities. We conclude by discussing additional regularity conditions, including the role of rational versus irrational probabilities in this setting.

研究の動機と目的

• 物理学における計算的利用を超えた準確率の概念的基礎を動機づけ、明確化する。
• 有限ブール宇宙にわたる命題の普遍的評価の枠組みを構築する。
• 有限表現で許容される評価が有限加法測度（事前確率）として表現できることを示す表現定理を証明する。
• 相対化を通じて古典的確率の出現を特徴づけ、一般化条件付き/ベイズ枠組を確立する。
• 再構成における正規性条件と、合理的確率と無理数確率の役割を探る。

提案手法

• Syntactic Localityの下で構文的宇宙とサブ宇宙（相対宇宙）を形式化する。
• 五つの原理（古典命題論理との整合性、局所推論、普遍性、最大現実化、対称性）を設定し、それらの帰結を導出する。
• すべての許容される普遍評価が有限加法的表現（事前確率）として再パラメトライズできることを示す表現定理（定理1）を証明し、ゲージ自由度（補題2）を特定する。
• 事前確率および準確率の両方に対する良く定義された全確率と一般化ベイズ定理を生み出す条件づけ/同期化の枠組みを定義する。
• 合理的確率と無理数確率を区別し、正規性の含意を論じる。

Figure 6: Two agents’ sub-universes embedded in an ambient shared universe.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ブール代数上の命題に対する普遍的評価を、何によって付加的な確率表現へと制約できるか？
• RQ2 相対化（サブ宇宙への制限）を通じて準確率と古典的確率の関係はどうなるか？
• RQ3 事前確率/準確率の枠組みの中で、条件付けとベイズの定理をどのように一貫して定義できるか？
• RQ4 無理数確率が生じる正規性条件は何で、合理的事前分布はこの再構成にどのように適合するか？

主な発見

• すべての許容される普遍評価は、互いに素な結合に対する有限加法的表現（事前確率）として再パラメトライズできる（定理1）。
• 有限準確率へ導く標準的な再パラメトライズが存在し、表現はゲージ（加法的再階層化）により一意である。
• 古典的有限確率は、相対化（サブ宇宙への制限）に安定な準確率のサブクラスとして現れる。
• 事前確率および準確率に適用可能な一般化ベイズの定理を提供する、整合的な条件付き理論を得る。
• 対称性の考慮は評価自由度を制約し、原子が同一である場合には格子レベルに依存する崩壊を生み出す（原子が同一ならレベルベースの崩壊へ）ことを決定する。
• 補遺は正規性の仮定とこの有限加法的枠組み内での有理確率の出現について論じる。