[論文レビュー] Reconstruction of less regular conductivities in the plane

Kim Knudsen, Alexandru Tamasan|ArXiv.org|Oct 26, 2001

Numerical methods in inverse problems参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ における等方的導電率 $\gamma \in C^{1+\epsilon}(\overline{\Omega})$ の再構成アルゴリズムを、境界上のディリクレ・ツー・ノイマン写像を用いて提示する。導電率方程式を一次系に還元し、逆散乱理論における $\overline{\partial}$-法を適用することで、先行研究に比べてより良い正則性条件下でも正確な再構成が達成される。

ABSTRACT

We study the inverse conductivity problem of how to reconstruct an isotropic electrical conductivity distribution $γ$ in an object from static electrical measurements on the boundary of the object. We give an exact reconstruction algorithm for the conductivity $γ\in C^{1+ε}(\ol \Om)$ in the plane domain $Ω$ from the associated Dirichlet to Neumann map on $\partial \Om.$ Hence we improve earlier reconstruction results. The method used relies on a well-known reduction to a first order system, for which the $\ol\partial$-method of inverse scattering theory can be applied.

研究の動機と目的

• 2次元における等方的電気的導電率分布を境界測定値から再構成するアルゴリズムの開発。
• 特にナッホマンの $C^{1,1}$ 条件を改善することで、正確な再構成に必要な正則性の閾値をこれまでの結果を上回るように拡張すること。
• 逆散乱理論における $\overline{\partial}$-法を、より低い正則性を要する一次系形式に適応すること。
• 正則性 $\gamma \in C^{1+\epsilon}(\overline{\Omega})$ かつ $\gamma \geq c > 0$ を満たす場合に有効な厳密な再構成手順を確立すること。
• ナッホマンのアルゴリズムと類似するが、滑らかさの仮定を弱めた構成的メソッドを提供すること。

提案手法

• 変数変換を用いて導電率方程式 $\nabla \cdot \gamma \nabla u = 0$ を一次系に還元し、$\overline{\partial}$-法の適用を可能にする。
• 一次系に関連する逆散乱問題に $\overline{\partial}$-法を適用し、複素数の幾何学的オプティカル解を活用する。
• 境界積分方程式を用いてディリクレ・ツー・ノイマン写像 $\Lambda_\gamma$ から散乱データを構成し、導電率をより大きな領域へ拡張する。
• 複素平面における $\overline{\partial}$-作用素を含む積分方程式を解き、散乱変換および関連解を回復する。
• 公式 $\gamma(z) = \operatorname{Re} \tilde{m}_+(z,0)$ を用いて導電率を再構成する。ここで $\tilde{m}_+$ は $\overline{\partial}$-問題の解である。
• Fredholmの補題および擬解析関数の性質を用いて、$\overline{\partial}$-方程式の解の存在、一意性、および Hölder 継続性を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元における逆導電率問題は、$C^{1,1}$ よりも正則性が低い導電率に対しても解けるか。
• RQ2 $\overline{\partial}$-法を一次系に適応することで、導電率の正則性要件をどの程度まで緩和できるか。
• RQ3 ディリクレ・ツー・ノイマン写像 $\Lambda_\gamma$ から $\gamma \in C^{1+\epsilon}(\overline{\Omega})$ を構成的アルゴリズムで再構成することは可能か。
• RQ4 一次系への還元が、逆散乱に基づく再構成における可解性および正則性要件にどのように影響を与えるか。
• RQ5 正則性 $C^{1+\epsilon}$ の下で、公式 $\gamma(z) = \operatorname{Re} \tilde{m}_+(z,0)$ が厳密に正当化可能か。

主な発見

• 本稿では、有界で滑らかな領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ に対して、$\gamma \in C^{1+\epsilon}(\overline{\Omega})$ がディリクレ・ツー・ノイマン写像 $\Lambda_\gamma$ から正確に再構成可能であることを確立している。
• 再構成アルゴリズムは一次系形式に基づいており、従来の2階微分を必要とする手法と比較して正則性要件を低減している。
• $\overline{\partial}$-法は、$L^q$-可積分な係数を持つ系に適用され、関連する積分方程式の解が $L^q(\mathbb{R}^2)$ 内に存在し一意であることが示されている。
• 解 $\tilde{m}_+(z,k)$ は固定された $z$ に対して $k$ に関して Hölder 継続的であり、正則性 $C^\alpha(\mathbb{R}^2)$ を $\alpha = 1 - (1/r + 1/q)$ で有する。
• 導電率は $\gamma(z) = \operatorname{Re} \tilde{m}_+(z,0)$ を用いて再構成され、これは散乱データおよび $\overline{\partial}$-解から導出される。
• 本手法はナッホマンのアルゴリズムと類似した構成的枠組みを提供するが、$C^{1,1}$ よりも厳密に弱い正則性仮定の下で適用可能である。