[論文レビュー] Reconstruction of Nonnegative Sparse Signals Using Accelerated Proximal-Gradient Algorithms

Renliang Gu, A. Dogandzic|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、関数リスタートとADMMに基づくプロキシマルマッピングを用いたネステロフ法を応用した加速型プロキシマル・グラディエント・アルゴリズムを提案し、不定方程式の測定値から非負のスパース信号を再構成する。ウェーブレット領域における l1-ノルムとインジケータ関数を用いて信号の非負性とスパarsityを同時に制約することで、ポアソンおよびガウスノイズモデルを想定した圧縮センシングおよびトモグラフィーにおいて、既存手法に比べ優れた再構成性能を達成する。

ABSTRACT

We develop an accelerated proximal-gradient scheme for reconstructing nonnegative signals that are sparse in a transform domain from underdetermined measurements. This signal model is motivated by tomographic applications where the signal of interest is known to be nonnegative because it represents a tissue or material density. It is also applicable to optical and hyperspectral imaging, where energy within certain spectral band is nonnegative. We adopt the unconstrained regularization framework where the objective function to be minimized is a sum of a convex data fidelity (negative log-likelihood (NLL)) term and a convex regularization term that imposes signal nonnegativity and sparsity by using indicator-function and l1-norm constraints on the signal and its transform coefficients, respectively. We apply the Nesterov's proximal-gradient (NPG) method with function restart to minimize this objective function and the alternating direction method of multipliers (ADMM) to compute the proximal mapping. To accelerate convergence of the NPG iteration, we apply a step-size selection scheme that accounts for varying local Lipschitz constant of the NLL. We also apply adaptive continuation, which provides numerical stability and can accelerate the convergence of the NPG iteration. We construct compressed-sensing and tomographic reconstruction experiments with Gaussian linear and Poisson generalized linear measurement models, where we compare the proposed reconstruction approach with existing signal reconstruction methods. By exploiting both the nonnegativity of the underlying signal and sparsity of its wavelet coefficients, we can achieve significantly better reconstruction performance than the existing methods.

研究の動機と目的

• トモグラフィーおよび画像処理応用における不定線形測定値から非負のスパース信号を再構成する課題に対処すること。
• 変換領域における信号の非負性とスパarsityを併用することで再構成精度を向上させること。
• 非負のスパース信号回復に特化した高速で安定かつ収束性を有する最適化フレームワークを構築すること。
• ポアソンおよびガウス測定モデル下で、既存手法に比べて圧縮センシングおよびトモグラフィー再構成において優れた性能を発揮すること。

提案手法

• 凸なデータ適合項（負の対数尤度）と非負性およびスパarsityを強制する正則化項を組み合わせた非制約型正則化フレームワークを採用する。
• 最適化プロセスの収束を加速するために、関数リスタートを施したネステロフのプロキシマル・グラディエント（NPG）法を適用する。
• 効率的かつ安定した部分問題解法を実現するため、交替方向乗数法（ADMM）を用いてプロキシマルマッピングを計算する。
• 負の対数尤度関数の局所的リプシッツ定数の変動を考慮したステップサイズ選択スキームを導入し、収束性を向上させる。
• 数値的安定性の向上とさらなる収束加速を図るために、適応的継続法を採用する。
• 圧縮センシングおよびトモグラフィー再構成タスクにおいて、ガウス線形およびポアソン一般化線形測定モデルの両方を用いて手法を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数リスタートおよび適応的継続法を用いた加速型プロキシマル・グラディエント法は、非負のスパース信号の再構成において収束性と再構成品質を向上させることができるか？
• RQ2 ウェーブレット領域における非負性とスパarsityの併用的制約が、不定システムにおける再構成性能に与える影響は何か？
• RQ3 本手法は、ポアソンおよびガウスノイズを伴うトモグラフィーおよび圧縮センシング応用において、既存の最先端手法を上回る性能を示すか？
• RQ4 局所的リプシッツ定数を考慮したステップサイズ選択が、収束速度および安定性に与える影響は何か？
• RQ5 ADMMは、NPGフレームワーク内での効率的かつ安定したプロキシマルマッピングを実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本手法は、ウェーブレット領域における信号の非負性とスパarsityを併用的に活用することで、既存手法に比べ顕著に優れた再構成性能を達成する。
• 関数リスタートと適応的継続法により、NPG反復の数値的安定性が向上し、収束が加速される。
• 負の対数尤度関数の局所的リプシッツ定数を考慮したステップサイズ選択スキームにより、収束効率が向上する。
• ADMMに基づくプロキシマルマッピングにより、プロキシマルステップの正確かつ安定した計算が可能となり、全体のアルゴリズム的性能に不可欠な要因となる。
• ポアソンおよびガウス測定モデル下で、圧縮センシングおよびトモグラフィー再構成タスクにおいて、本手法は優れた再構成精度を示す。
• 非負性制約と変換係数における l1-ノルム正則化の組み合わせにより、特に低信号状態下で信号回復性能が向上する。