[論文レビュー] Reconstruction theorem for quantum stochastic processes

V. P. Belavkin|ArXiv.org|Dec 17, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、自己一貫性のある因果的順序の相関カーネル族が、強い意味で最小かつユニタリ同値な量子確率過程（QSP）を一意に定めるという再構成定理を確立する。この枠組みは、コルモゴロフの古典的再構成とルイスの非因果的アプローチを一般化し、オープンな量子系および場における非相対論的・相対論的不可逆的ダイナミクスを、因果的かつ共変的な構造で統一的に扱う。

ABSTRACT

Statistically interpretable axioms are formulated that define a quantum stochastic process (QSP) as a causally ordered operator field in an arbitrary space-time region T of an open quantum system under a sequential observation at a discrete space-time localization. It is shown that to every QSP described in the weak sense by a self-consistent system of causally ordered correlation kernels there corresponds a unique, up to unitary equivalence, minimal QSP in the strong sense. It is shown that the proposed QSP construction, which reduces in the case of the linearly ordered discrete T=Z to the construction of the inductive limit of Lindblad's canonical representations, corresponds to Kolmogorov's classical reconstruction if the order on T is ignored and leads to Lewis construction if one uses the system of all (not only causal) correlation kernels, regarding this system as lexicographically preordered on T. The approach presented encompasses both nonrelativistic and relativistic irreversible dynamics of open quantum systems and fields satisfying the conditions of local commutativity and semigroup covariance. Also given are necessary and sufficient conditions of dynamicity (or conditional Markovianity) and regularity, these leading to the properties of complete mixing (relaxation) and ergodicity of the QSP.

研究の動機と目的

• オープンな量子系における因果的順序の場として、物理的に解釈可能なリアルタイム定義を提供すること。
• 自己一貫性のある因果的相関カーネル系から、最小かつユニタリ同値なQSPを再構成する普遍的な手法を確立すること。
• 半群の共変性と局所可換性に基づく一元的枠組みにおいて、非相対論的および相対論的不可逆的ダイナミクスを統一すること。
• QSPにおける動的性（条件付きマルコフ性）、正規性、完全混合性、エルゴード性の必要十分条件を導出すること。
• 因果性を無視するか、対称的と仮定すると、古典的確率過程が特殊ケースとして現れることを示すこと。

提案手法

• 任意の時空領域 $T$ において、一貫性および共変性条件を満たす因果的順序の相関カーネルを用いてQSPの公理を定式化する。
• 時空領域 $T = \mathbb{Z}$ の場合、Lindblad型の標準表現の帰納的極限を用いて、最小かつユニタリ同値な表現を構成する。
• 演算子値分布から得られるGNS型のヒルベルト空間 $\mathcal{H} = L^2_{\mathcal{K}}(\mathcal{B}_T)$ に基づく普遍的構成により、プロセスを実現する。
• 正規性と正定値性を保証するため、$\sigma$-表現 $\pi_T: \mathcal{B}_T \to \mathcal{P}(\mathcal{H})$ を定義し、$\mu_T(B) = \mathrm{P} \pi_T(B) \mathrm{P}$ とすることでプロセスを定義する。
• 軌道空間 $\mathrm{E}_T = \prod_{t \in T} \mathrm{E}_t$ 上の $\sigma$-加法性を用いて、演算子値分布 $\mu^\Lambda$ を $\sigma$-測度 $\rho_T$ に拡張することでプロセスを再構成する。
• 非因果的相関関数を因果的枠組みに形式的に埋め込むために、$\mathbb{Z} \times T$ 上の辞書的順序を適用し、ルイスの構成を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己一貫性のある因果的順序の相関カーネル族から、量子確率過程をどのように再構成できるか？
• RQ2 このようなカーネル族に対応する最小QSPが存在・一意に定まるための条件（ユニタリ同値を除いて）は何か？
• RQ3 因果性を無視した場合、この枠組みはどのようにしてコルモゴロフの古典的再構成に還元され、標準的確率過程を回復するか？
• RQ4 提案されたQSPの構成と、すべての相関関数を用いたルイスの非因果的再構成の関係は何か？
• RQ5 QSPが動的性、完全混合性、またはエルゴード性を示すための条件は何か？

主な発見

• 自己一貫性のある因果的相関カーネル族は、ユニタリ同値を除いて最小QSPを一意に定める。これは、$T = \mathbb{Z}$ 時間のLindbladの標準表現を一般化する。
• 再構成により、不可逆的自己準同型ダイナミクスのユニタリ表現が得られ、非相対論的および相対論的オープン量子系および場を包括する。
• 因果性を無視すると、構成はコルモゴロフの古典的再構成に還元され、標準的確率過程が回復される。
• 辞書的順序を用いて $\mathbb{Z} \times T$ 上に非因果的相関関数を形式的に埋め込むことで、非因果的枠組みに一致するルイスの構成が回復される。
• 原点における正規性の条件に加え、準推移的対称性が成り立つと、完全混合性およびエルゴード性が導かれる。これは古典系における $K$-混合性に類似する。
• 動的性条件（4.9）は、正規化条件 $\pi_l(\mathrm{E}_l) = \mathrm{I}$ を弱めるため、ハミルトニアンでない、条件付きマルコフ的で、不可逆的な緩和過程を許容する。