[論文レビュー] Recoverable Robust Single Machine Scheduling with Polyhedral Uncertainty

Matthew Bold, Marc Goerigk|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

Scheduling and Optimization Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多面体的不確実性下での単一マシンスケジューリングに対して回復可能ロバストなアプローチを提案する。処理時間が実現された後、最大Δ個の互いに素なジョブの入れ替えによって最初の段階のスケジュールを調整可能である。マッチングとアサインメント構造を用いたコンactな混合整数プログラミング定式化を導入し、計算結果から、たとえ1回の入れ替えでもリカバリーの大部分の利点を捉えられ、3つの提案定式化の中でアサインメントベースのモデルが最も強力であることが示された。

ABSTRACT

This paper considers a recoverable robust single-machine scheduling problem under polyhedral uncertainty with the objective of minimising the total flow time. In this setting, a decision-maker must determine a first-stage schedule subject to the uncertain job processing times. Then following the realisation of these processing times, they have the option to swap the positions of up to Delta disjoint pairs of jobs to obtain a second-stage schedule. We first formulate this scheduling problem using a general recoverable robust framework, before we examine the incremental subproblem in further detail. We prove a general result for max-weight matching problems, showing that for edge weights of a specific form, the matching polytope can be fully characterised by polynomially many constraints. We use this result to derive a matching-based compact formulation for the full problem. Further analysis of the incremental problem leads to an additional assignment-based compact formulation. Computational results on budgeted uncertainty sets compare the relative strengths of the three compact models we propose.

研究の動機と目的

• 不確実なジョブ処理時間を伴う回復可能ロバストネスフレームワークにおけるロバストな単一マシンスケジューリング問題に取り組む。
• 制限付きリカバリーアクションを効率的にモデル化できるコンパクトな混合整数プログラミング定式化を開発する。
• ジョブの入れ替えというインクリメンタルな部分問題を分析し、マッチングとアサインメント構造に基づいた特化した定式化を導出する。
• コスト予算不確実性集合下で、複数のコンパクト定式化の計算性能を比較する。
• 許容可能な交換回数（Δ）と不確実性予算（Γ）を増加させた場合、解の品質とロバストネスに与える影響を調査する。

提案手法

• 不確実性が実現された後、最大Δ個の互いに素なジョブの入れ替えによって最初の段階スケジュールを調整可能な一般枠組みを用いて、回復可能ロバストスケジューリング問題を定式化する。
• 特定の形をした辺重みに対して、マッチングポリトープが多項式個の制約によって完全に記述可能であることを証明し、奇サイクル不等式の必要性を排除する。
• この構造的結果を用いて、全問題に対するマッチングベースのコンパクト定式化を導出する。
• 対称的なアサインメントベースのコンパクト定式化を構築し、整数マッチング結果をこの代替モデルに移転する。
• 3つの正確なモデルを提案する：マッチングベース、アサインメントベース、および比較のためのΔ=0の制限付きバージョン。
• n ≤ 20のインスタンスを用いた計算実験により、コスト予算不確実性下での3つの定式化の相対的強度を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限付きリカバリーサブスティチューションを伴う回復可能ロバストな単一マシンスケジューリング問題を、コンパクトな混合整数計画問題としてどのように定式化できるか？
• RQ2 ジョブの入れ替えというインクリメンタル部分問題のどのような構造的性質が、奇サイクル制約を排除したコンパクトな定式化を可能にするか？
• RQ3 許容可能な交換回数（Δ）を増加させると、目的関数値および解のロバストネスにどのような影響を与えるか？
• RQ4 不確実性予算（Γ）を増加させると、異なるリカバリーレベル下での最悪ケース総フローチャンジにどのような影響を与えるか？
• RQ5 提案された3つのコンパクト定式化（マッチングベース、アサインメントベース、制限付き）の中で、どのモデルが最も強いバウンディングと優れた計算性能を提供するか？

主な発見

• 提案された3つのコンパクトモデルの中で、アサインメントベースの定式化が最も強く、最もタイトなバウンディングと優れた計算性能を示した。
• 1回の交換を許容するだけで、リカバリーベネフィットの大部分を捉えることができ、Δを1より大きくすると目的関数の改善効果は次第に小さくなる。
• Δを固定した場合、不確実性予算（Γ）を増加させると、最悪ケースの総フローチャンジが単調に増加する。n=10の場合、Γを3から7に増加させると、平均目的関数値は最大22.1%上昇した。
• Δを0から3に増加させた場合、n=15およびn=20のインスタンス全体で平均して1.0%の目的関数値の低下が見られ、追加の交換による一貫したがわずかな利益が示された。
• マッチングベースの定式化は、特定の重み構造下での解の整数性により有効かつコンパクトであり、奇サイクル制約の必要性が排除された。
• 計算結果は、正確なモデルの計算コストが非常に高いため、n ≤ 20のインスタンスに限定されている。これは、大規模応用においてヒューリスティクスの導入が求められることを示唆している。