[論文レビュー] Recovering of dielectric constants of explosives via a globally strictly convex cost functional

Michael V. Klibanov, Nguyễn Trung Thành|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ラプラス変換とカルレマン重み関数を用いたコスト関数 functional を用いて、境界測定値から爆発物の誘電率定数を回復するための、グローバルに収束する数値的手法を提案する。ラグエル関数とカルレマン重み関数を用いて厳密に凸な関数を構築することで、勾配に基づく最適化のグローバル収束を保証し、不良な初期推定値からでも信頼性の高い再構成が可能となる。1次元の数値実験により、不連続および連続的な係数に対しても有効であることが検証された。

ABSTRACT

The inverse problem of estimating dielectric constants of explosives using boundary measurements of one component of the scattered electric field is addressed. It is formulated as a coefficient inverse problem for a hyperbolic differential equation. After applying the Laplace transform, a new cost functional is constructed and a variational problem is formulated. The key feature of this functional is the presence of the Carleman Weight Function for the Laplacian. The strict convexity of this functional on a bounded set in a Hilbert space of an arbitrary size is proven. This allows for establishing the global convergence of the gradient descent method. Some results of numerical experiments are presented.

研究の動機と目的

• 地上探査レーダー（GPR）を用いた爆発物検出における係数逆問題に取り組み、従来の手法が非凸な目的関数に起因する局所的収束性の欠如に起因する課題を解決すること。
• 高次元波動方程式における係数推定のためのグローバルに収束するアルゴリズムを開発することで、正確な初期推定値への依存を排除すること。
• ラプラス領域における無限積分の切断を、$L_2(\underline{s}, \infty)$ 内の正規直交関数を用いた級数展開に置き換えること。
• ヒルベルト空間内の任意の有界集合上でコスト関数の厳密な凸性を確立し、勾配降下法のグローバル収束を保証すること。
• 1次元での数値実験を通じて、計算の実行可能性と精度の向上を示し、ハイブリッド手法と局所収束型ソルバーを比較すること。

提案手法

• 境界測定値としての散乱電場成分の時空間的変動を用いて、非線形楕円型方程式系に変換されたハイパボリック型PDEの係数逆問題として逆問題を定式化する。
• 時間依存波動方程式にラプラス変換を適用し、ラプラス領域における非線形楕円型方程式系に変換する。
• ラプラス領域における解を、$L_2(\underline{s}, \infty)$ 内の正規直交基底を形成するラグエル関数を用いた級数展開として表現する。
• ヒルベルト空間内の任意の有界集合上で厳密な凸性を強制するカルレマン重み関数（CWF）を用いた最小二乗コスト関数を構築する。
• 十分に大きなパラメータ $\lambda$ を用いることで、CWFがコスト関数の厳密な凸性を保証することを証明する。これにより、勾配法のグローバル収束が可能になる。
• 2段階のアルゴリズムを採用する：第一段階ではグローバルに収束する手法を用いて良好な初期近似を得る。第二段階では局所的に収束する手法（SQP）を用いてそれを精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電磁波イメージングによる爆発物検出における係数逆問題に対して、グローバルに収束する手法を構築することは可能か？
• RQ2 ラプラス領域における無限積分の切断を、正規直交基底における級数展開に置き換えることは可能か？
• RQ3 コスト関数にカルレマン重み関数を組み込むことで、ヒルベルト空間内の任意の有界集合上で厳密な凸性が保証されるか？
• RQ4 不良な初期値（例えば、均一な背景媒質）から出発する場合でも、提案手法が局所収束型手法を上回る性能を示せるか？
• RQ5 1次元数値設定において、不連続および連続的な誘電率プロファイルの再構成はどの程度の精度で達成できるか？

主な発見

• カルレマン重み関数のパラメータ $\lambda$ が十分に大きい場合、ヒルベルト空間内の任意の有界集合上でコスト関数が厳密に凸となることが保証され、勾配降下法のグローバル収束が可能になる。
• 1次元の数値実験では、グローバルと局所最適化を組み合わせたハイブリッドアルゴリズムが、階層的定数および連続的な誘電率係数の再構成を高精度に達成しており、大きなジャンプ（例：$c(x) = 1 + 14\chi[0.03,0.1]$）に対しても有効である。
• 均一な背景媒質から出発する場合、局所収束型手法のみでは正しく解に収束しないが、提案手法のハイブリッドアプローチは、全テストケースで成功した。
• 例1～4の結果から、局所収束型手法がグローバル収束型第一段階の出力を初期値として用いることで、再構成精度が顕著に向上することが示された。
• 例3では、誘電率定数が背景媒質より低い場合（$c(x) = 1 - 0.5\chi[0.03,0.15]$）でも、ターゲットの回復に成功した。
• アルゴリズムはターゲットの位置や係数の変動に対してロバストであり、測定点付近でも高精度な結果が得られており、実際のGPRデータ前処理と整合的である。