[論文レビュー] Recovering Unitarity of Lee Model in Bi-Orthogonal Basis

Tao Shi, C. P. Sun|ArXiv.org|May 12, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、結合定数が臨界値を超えた場合にハミルトニアンが通常の内積のもとで非エルミート的になるリー模型において、ユニタリティを回復するための二直交基底手法を提案する。非自明な計量演算子ηを導入することで、新たな内積を定義し、ハミルトニアンがエルミート的となり、すべての状態が正のノルムを持つようになり、S行列がユニタリになる。これにより、強い結合定数領域におけるゴースト状態や負の確率の問題が解消される。

ABSTRACT

We study how to recover the unitarity of Lee model with the help of bi-orthogonal basis approach, when the physical coupling constant in renormalization exceeds its critical value, so that the Lee's Hamiltonian is non-Hermitian with respect to the conventional inner product. In a very natural fashion, our systematic approach based on bi-orthogonal basis leads to an elegant definition of inner product with a non-trivial metric, which can overcome all the previous problems in Lee model, such as non-Hermiticity of the Hamiltonian, the negative norm, the negative probability and the non-unitarity of the scattering matrix.

研究の動機と目的

• 結合定数が臨界値を超えた場合にリー模型でユニタリティが崩れる問題を解決すること。
• 強い結合定数領域におけるゴースト状態（負のノルム）と非ユニタリな散乱行列の出現を解消すること。
• 二直交基底を用いて非エルミート的ハミルトニアンに対する新しい内積を定義することで、一貫性のある量子理論を構築すること。
• 結合定数が強くても、新しい内積のもとでハミルトニアンがエルミート的であり、S行列がユニタリになるように保証すること。
• 結合共振子アレイのような現実的な系に適用可能な物理的に受け入れ可能なリー模型の枠組みを提供すること。

提案手法

• ハミルトニアンHの固有状態{|Eₙ⟩}とその随伴H†の固有状態{|Dₙ⟩}からなる二つの完全な固有状態セットからなる二直交基底を用いる。
• |Dₙ⟩ = η|Eₙ⟩により非自明な計量演算子ηを定義し、新たな内積(φ, ψ) = ⟨φ|η|ψ⟩を導入する。
• 量子力学的（1ボソンモード）および量子場理論的リー模型の両方のバージョンに対して、計量演算子ηを明示的に計算する。
• 新しい内積のもとで、ハミルトニアンがエルミート的であり、すべての固有状態が正のノルムを持つことを示す。
• 新しいヒルベルト空間においてS行列がユニタリであることを示し、物理的整合性が回復されることを確認する。
• 新しい計量が異なる固有状態の直交性を保証し、人工的な極の除去を回避することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合定数が臨界値を超えて非エルミート的ハミルトニアンとなる場合、リー模型におけるユニタリティはどのように回復できるか？
• RQ2 非自明な計量は、非エルミート的ハミルトニアンに対して物理的に整合性のある内積を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 二直交基底アプローチは、ゴースト状態、負のノルム、非ユニタリなS行列といった問題を体系的に解消できるか？
• RQ4 新しい内積は、ハミルトニアンがエルミート的であり、時間発展がユニタリであることをどのように保証するか？
• RQ5 本手法により導かれる計量演算子は、従来のCPTに基づく計量とは異なっているか？

主な発見

• 二直交基底アプローチにより、強い結合定数領域（g > g_c）におけるリー模型ハミルトニアンのエルミート性が回復される非自明な計量演算子ηを明示的に定義できた。
• 物理的V状態および散乱状態を含むすべての固有状態が、新しい内積のもとで正のノルムを持つようになり、ゴースト状態の問題が解消された。
• 新しい内積を備えたヒルベルト空間においてS行列がユニタリになることが示され、非ユニタリ散乱の問題が解消された。
• 量子力学的および量子場理論的リー模型の両方のバージョンに対して、計量演算子ηが明示的に計算され、明確で体系的なフレームワークが提供された。
• 新しい計量は異なる固有状態の直交性を保証しており、従来のCPTに基づく計量とは明確に異なる。
• 本手法により、リー模型は任意の結合定数において物理的に受け入れ可能となり、結合共振子アレイのような現実的な系への応用が可能になった。