[論文レビュー] Recovery of a source term or a speed with one measurement and applications

Plamen Stefanov, Günther Uhlmann|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非等方的媒体において、境界からの単一測定値を用いて波動方程式の源項または音速を回復するための鋭い一意性および安定性条件を確立する。カルレマン推定と幾何的考察（特に厳密凸面のファイブレーション）を組み合わせることで、最小限の幾何的および正則性仮定のもとで、音速が一意的かつ安定的に再構成可能であることを証明する。この結果は熱圧縮トモグラフィーへの直接応用を持つ。

ABSTRACT

We study the problem of recovery the source $a(t,x)F(x)$ in the wave equation in anisotropic medium with $a$ known so that $a(0,x) ot=0$ with a single measurement. We use Carleman estimates combined with geometric arguments and give sharp conditions for uniqueness. We also study the non-linear problem of recovery the sound speed in the equation $u_{tt} -c^2(x)Δu =0$ with one measurement. We give sharp conditions for stability, as well. An application to thermoacoustic tomography is also presented.

研究の動機と目的

• 非等方的媒体における波動方程式において、境界からの単一測定値を用いて源項 $ a(t,x)F(x) $ を一意に回復するための鋭い条件を確立すること。
• 特に厳密凸面のファイブレーションを用いて幾何的条件として定式化することにより、カルレマン推定に基づく逆問題手法の適用範囲を拡張すること。
• 音速 $ c(x) $ を境界からの単一測定値から回復する逆問題について、局所的および大域的安定性推定を証明し、$ C^k $-ノルムが有界である条件下で一様な境界を得ること。
• 従来の非鋭い擬凸性条件や凸性条件を改善するため、超曲線的逆問題における幾何的枠組みを鋭くすること。
• 結果を熱圧縮トモグラフィーに応用し、初期圧力データの境界測定値から音速 $ c(x) $ が安定に回復可能であることを示すこと。

提案手法

• 問題の幾何に適合した時間に依存する重み関数を用いたカルレマン推定を用い、単一のグローバルな擬凸関数に依存しない。
• 境界から内部へ情報を伝播させるために、厳密凸な等高面集合 $ ext{dist}(x, ar{ heta}) = s $（$ s o 0 $）の族による段階的同定続拡張を適用する。
• 幾何的ファイブレーション論法を採用：境界 $ ar{ heta} $ が厳密凸であり、かつ距離 $ T $ までその等高面が厳密凸のままであれば、$ F = 0 $ が $ ar{ heta} $ のコラール近傍で成り立つ。
• 非線形な音速 $ c(x) $ の回復問題を、線形化と波動方程式の構造を用いて、$ F = ilde{c}^2 - c^2 $ を回復する線形問題に還元する（$ a = abla ilde{u} $ とおく）。
• ディリクレ・トゥ・ノイマン写像 $ B $ 及びそのパラメトリクス $ Q $ を用い、条件 (51) の下で $ B $ が0階の古典的擬微分作用素であり、その主要記号が楕円的であることを示す。
• コンパクト摂動論法により安定性を確立：$ F $ の解作用素は有界であり、コンパクトな誤差項を含むため、フリードホルム型推定が得られ、データの小さな摂動に対しても安定性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波動方程式 $ u_{tt} - c^2(x) abla abla u = a(t,x)F(x) $ における源項 $ F(x) $ が、境界からの単一測定値から一意に回復可能となる幾何的および解析的条件は何か？
• RQ2 音速 $ c(x) $ は、$ [0,T] imes ar{ heta} $ 上での波動解の単一測定値から安定に再構成可能か？ その条件として $ T $ と幾何の制約は何か？
• RQ3 カルレマン推定における擬凸性条件を、厳密凸面を用いた幾何的ファイブレーション条件に置き換えることは可能か？ これにより、従来の非鋭い仮定を改善できるか？
• RQ4 音速 $ c(x) $ の逆問題の安定性は何か？ また、安定性定数は $ c $ および $ ilde{c} $ の正則性および有界性にどのように依存するか？
• RQ5 本結果は熱圧縮トモグラフィーに応用可能か？ また、初期圧力データからの $ c(x) $ の再構成の安定性は何か？

主な発見

• 境界 $ ar{ heta} $ のコラール近傍で $ F $ の一意性が保証される。これは、$ ext{dist}(x, ar{ heta}) o s o 0 $ で等高面が厳密凸である場合に成立し、$ T $ が十分に小さいときを条件とする。
• $ T o 0 $ は鋭い条件である：$ s o 0 $ で等高面 $ ext{dist}(x, ar{ heta}) = s $ が厳密凸でなければ、一意性が成立しない可能性がある。
• コンパクト摂動論法により、音速 $ c(x) $ の逆問題の安定性が証明される：$ ilde{u}_{tt} $ が $ u_{tt} $ に近ければ、$ ilde{c} $ は $ L^2(K) $ で $ c $ に近くなる。
• 安定性推定 $ orm{ ilde{c} - c}_{L^2(K)} o C orm{ ilde{u}_{tt} - u_{tt}}_{L^2([0,T] imes ar{ heta})} $ が、$ k > n/2 $ の下で $ C^k $-有界性および $ c $ の楕円性のもとで一様に成り立つ。
• 解 $ u $ は $ f o H^{k+1} $ および $ c o C^k $（$ k > n/2 $）のとき、$ C^2([0,T]; C^2(ar{ heta})) $ に属し、境界データが適切に定義可能であるための十分な正則性を満たす。
• 本手法は熱圧縮トモグラフィーに適用可能である：同じ幾何的および正則性条件下で、初期圧力の境界測定値から音速 $ c(x) $ が安定に回復可能である。