[論文レビュー] Recovery of Piecewise Smooth Images from Few Fourier Samples

Greg Ongie, Mathews Jacob|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、フーリエドメインにおける消去関係を活用することで、少数のフーリエサンプルから2次元の区分的滑らか画像を回復するPronyに類似した手法を提案する。回復問題は、凸最適化を用いた構造的低ランク行列補完問題として定式化され、3,185個の低分解像フーリエサンプルからのみでも、区分的定数画像の正確な連続ドメイン再構成が可能である。MRIファントムにおいても有効性が実証された。

ABSTRACT

We introduce a Prony-like method to recover a continuous domain 2-D piecewise smooth image from few of its Fourier samples. Assuming the discontinuity set of the image is localized to the zero level-set of a trigonometric polynomial, we show the Fourier transform coefficients of partial derivatives of the signal satisfy an annihilation relation. We present necessary and sufficient conditions for unique recovery of piecewise constant images using the above annihilation relation. We pose the recovery of the Fourier coefficients of the signal from the measurements as a convex matrix completion algorithm, which relies on the lifting of the Fourier data to a structured low-rank matrix; this approach jointly estimates the signal and the annihilating filter. Finally, we demonstrate our algorithm on the recovery of MRI phantoms from few low-resolution Fourier samples.

研究の動機と目的

• 従来の圧縮センシングやオフグリッド手法がエッジ構造の複雑さのため失敗する場合に、連続ドメインにおける区分的滑らか画像を少数のフーリエサンプルから回復する課題に対処すること。
• 従来の複雑な解析的信号モデルの限界を克服し、微分作用素に基づくより現実的な区分的滑らか関数モデルを導入すること。
• 区分的定数画像が少数のフーリエサンプルから一意に回復可能であるための必要十分条件を、消去関係を用いて確立すること。
• フーリエドメインにおける構造的低ランク行列補完を用いて、画像とエッジ集合を同時に推定する1段階の凸最適化フレームワークを開発すること。
• 実世界のファントムを用いた超高分解像MRI再構成において、本手法の有効性を実証すること。

提案手法

• 2次元の区分的滑らか画像を、領域内で滑らかで、ある三角多項式のゼロレベル集合によって定義される境界で不連続である関数としてモデル化する。
• 画像の偏微分とそのフーリエ係数の間の消去関係を導出する。これは、偏微分がエッジに沿って線形結合されたディラック関数であることに基づく。
• 消去フィルタとの畳み込みにより、フーリエデータを構造的低ランク行列（T）にアップライドし、ランクはエッジ領域の数に対応する。
• 回復問題を凸行列補完問題として定式化：既知のフーリエサンプルを満たすように、リフト行列の核ノルムを最小化する。スケーラビリティを確保するため、SVDを不要とするADMMアルゴリズムを用いる。
• リフト行列を用いて、1つの最適化ステップでエッジ集合と画像の振幅を同時に推定する。これにより、先行研究の2段階アプローチを回避する。
• 逆離散フーリエ変換を用いて、回復されたフーリエ係数を高分解像グリッドに拡張し、離散化誤差なしに正確な連続ドメイン画像再構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 消去フィルタアプローチを用いて、最小限の低周波数フーリエサンプルから2次元の区分的滑らか画像のエッジ集合を一意に回復可能か？
• RQ2 区分的定数画像の正確な回復に必要なフーリエサンプル数の必要十分条件は何か？
• RQ3 画像振幅とエッジジオメトリの同時推定を、フーリエドメインにおける1つの凸最適化問題としてどのように定式化できるか？
• RQ4 構造的低ランク行列補完フレームワークを用いて、エッジ多項式の次数に関する事前知識なしに、少数の均一な低分解像フーリエサンプルから高分解像画像を回復可能か？
• RQ5 MRIファントム再構成において、本手法は、既存のオフグリッド法や圧縮センシング手法と比較して、再構成精度とロバスト性において優れているか？

主な発見

• 区分的定数画像に対して、消去多項式の次数に依存する、エッジ集合の一意回復に必要なフーリエサンプル数の正確な必要十分条件を導出。
• 本手法は、256×256のShepp-Logan MRIファントムをわずか3,185個のフーリエサンプルからも回復——約20倍のアンダーサンプリングであり、高精度な再構成を実現。
• 構造的低ランク行列補完を用いた1段階の凸最適化アルゴリズムは、信号とエッジ集合を同時に推定することで、2段階アプローチを上回り、誤差を低減し安定性を向上。
• 核ノルム緩和にTikhonov正則化項を組み合わせることで、ノイズやモデル不一致に対してロバストであり、実用的応用が可能。
• 再構成画像に現れるリングアーチファクトは、正確なフーリエ係数回復に起因するものであり、軽度の後処理で緩和可能で、本手法の正確性を裏付ける。
• SVDを不要とするADMMアルゴリズムにより、大規模な行列補完問題のスケーラブルな解法が可能となり、高分解像画像再構成に実用的であることが示された。