[論文レビュー] Recovery of time-dependent coefficient on Riemanian manifold for hyperbolic equations

Yavar Kian, Lauri Oksanen|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 43被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、次元 $ d \geq 2 $ のコンpactなリーマン多様体 $ (M,g) $ 上の双曲的波動方程式において、時間に依存する係数 $ q \in L^\infty((0,T)\times M) $ を、$ \overline{M} = (0,T) \times M $ の境界における完全または部分的なコーシー・データ集合を用いて、グローバルに一意に回復できると確立する。主な結果は、幾何的仮定（例えば、$ (M,g) $ が単純であること）の下で、$ q $ が側面、上面、下面の境界におけるコーシー・データによって一意に特定されることであり、カルレマン推定と測地線ラジアル変換を用いて、時間に依存する係数を有する双曲的設定へのカルテーゼン型逆問題の拡張を達成している。

ABSTRACT

Given $(M,g)$, a compact connected Riemannian manifold of dimension $d \geq 2$, with boundary $\partial M$, we study the inverse boundary value problem of determining a time-dependent potential $q$, appearing in the wave equation $\partial_t^2u-Δ_g u+q(t,x)u=0$ in $\bar M=(0,T) imes M$ with $T>0$. Under suitable geometric assumptions we prove global unique determination of $q\in L^\infty(\bar M)$ given the Cauchy data set on the whole boundary $\partial \bar M$, or on certain subsets of $\partial \bar M$. Our problem can be seen as an analogue of the Calderón problem on the Lorentzian manifold $(\bar M, dt^2 - g)$.

研究の動機と目的

• リーマン多様体 $ (M,g) $ における波動方程式 $ \partial_t^2 u - \Delta_g u + q(t,x)u = 0 $ における時間に依存する零次係数 $ q $ の逆問題を扱う。
• 領域 $ \overline{M} = (0,T) \times M $ の境界 $ \partial\overline{M} = \partial M \times (0,T) \cup \{0\} \times M \cup \{T\} \times M $ における部分的または完全なコーシー・データから、$ q \in L^\infty((0,T)\times M) $ の一意性を確立する。これは、依存領域の制限を克服することを目的としている。
• 時間変化する係数を有する双曲的設定、特にローレンツ多様体 $ (\overline{M}, dt^2 - g) $ におけるカルテーゼン問題の枠組みを拡張する。
• カルレマン推定と微局所解析、測地線ラジアル変換を組み合わせた新規な手法を構築し、従来の結果が時間不変性またはユークリッド幾何を仮定していた時間に依存する場合の問題に対処する。

提案手法

• カウチの境界に近い局所化を可能にする複素位相 $ e^{-\sigma(\beta t + x_1)} $ を含む重み関数を用いて、$ \overline{M} = (0,T) \times M $ 上の波動作用素 $ \Box_g + q $ に対するカルレマン推定を導出する。
• 指数的に成長する位相を有する複素幾何学的オプティカル（CGO）解 $ u_1, u_2 $ を構築し、これらが波動方程式を低次の誤差まで満たすようにする。
• パrameter $ \sigma \to \infty $ の極限における $ u_1 u_2 $ の $ L^2 $ ノルムの漸近的挙動を用いて、$ q $ を含む積分恒等式を導出する。これにより、$ \int_{\overline{M}} q u_1 u_2 \, dt\,dx \to 0 $ が成立することを示す。
• 測地線ラジアル変換の対象となる $ a^{-\frac{d-2}{2}} q $ の時間および空間変数 $ (t,x_1) $ におけるフーリエ変換を適用し、問題をラジアル変換のフーリエ変換の消失を解析することに還元する。
• 単純多様体上での測地線ラジアル変換の単射性を用いて、積分がすべてのテスト関数に対して消失する場合、$ q = 0 $ であると結論づける。
• 極座標と多様体の構造を用いて、$ \partial M $ から出発する測地線に沿った1次元ラジアル変換に問題を還元し、既知の単射性結果の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上での波動方程式における時間に依存する係数 $ q \in L^\infty((0,T)\times M) $ は、$ (M,g) $ に適切な幾何的仮定が与えられた場合、境界 $ \partial\overline{M} $ における完全なコーシー・データ集合から一意に回復可能か？
• RQ2 完全なコーシー・データ集合ではなく、側面、上面、下面の境界データのみが利用可能な場合でも、一意性は依然として成立するか？
• RQ3 時間に依存する係数を有する状況において、依存領域の議論が失敗するため、カルテーゼン問題の枠組みをどのように双曲的設定に適応できるか？
• RQ4 カルレマン推定と複素幾何学的オプティカル解は、時間に依存する係数を有するリーマン多様体上での逆問題の一意性を証明するために、どのように機能するか？
• RQ5 フーリエ解析と $ \sigma \to \infty $ の極限における漸近解析を経て、測地線ラジアル変換を用いて $ q $ を効果的に回復できるか？

主な発見

• 時間に依存する係数 $ q \in L^\infty((0,T)\times M) $ は、$ (M,g) $ が単純多様体である限り、境界 $ \partial\overline{M} $ における完全なコーシー・データ集合 $ \mathcal{C}_q $ によって一意に特定される。
• 部分的なデータ、特に側面、上面、下面の境界データのみが利用可能な場合でも、同じ幾何的仮定の下で一意性が成立する。
• 証明は、複素位相 $ e^{-\sigma(\beta t + x_1)} $ を持つカルレマン推定に依存しており、2つのCGO解の積の $ L^2 $ ノルムを制御することが可能になる。
• $ \sigma \to \infty $ の極限において、積分 $ \int_{\overline{M}} q u_1 u_2 \, dt\,dx \to 0 $ が成り立ち、測地線ラジアル変換の消失を示す恒等式が得られる。
• $ a^{-\frac{d-2}{2}} q $ のラジアル変換のフーリエ変換がすべての周波数で消失するため、$ a^{-\frac{d-2}{2}} q $ のラジアル変換はほとんど everywhere でゼロであることが示される。
• 単純多様体上での測地線ラジアル変換の単射性より、$ q = 0 $ であると結論づけられ、境界データからの $ q $ の一意性が証明される。