[論文レビュー] Rectangle Free Coloring of Grids

Stephen Fenner, William Gasarch+2 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2010

Advanced Topology and Set Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、任意の軸に平行な長方形の4つの頂点が同じ色にならないように、2、3、または4色で色分け可能な長方形グリッドを正確に特定する問題を解決する。組合せ的構成と有限体を用いて、c = 2, 3, 4 の場合の障害集合を完全に特徴付け、c-色可能性の正確な条件を提示し、二部グラフラマージ数の新たな境界を導出する。

ABSTRACT

A two-dimensional \emph{grid} is a set $\Gnm = [n] imes[m]$. A grid $\Gnm$ is \emph{$c$-colorable} if there is a function $χ_{n,m}: \Gnm o [c]$ such that there are no rectangles with all four corners the same color. We address the following question: for which values of $n$ and $m$ is $\Gnm$ $c$-colorable? This problem can be viewed as a bipartite Ramsey problem and is related to a the Gallai-Witt theorem (also called the multidimensioanl Van Der Waerden's Theorem). We determine (1) \emph{exactly} which grids are 2-colorable, (2) \emph{exactly} which grids are 3-colorable, and (3) \emph{exactly} which grids are 4-colorable. We use combinatorics, finite fields, and tournament graphs.

研究の動機と目的

• n×mグリッドが、任意の軸に平行な長方形の4つの頂点が同じ色にならないようにc-色可能であるための正確な条件を特定すること。
• c = 2, 3, 4 の場合の障害集合OBS_cを特徴付けること、すなわち、c-色不能な最小のグリッドの集合を特定すること。
• 結果を応用して、二部グラフラマージ数の新たな境界を導出すること。
• 長方形自由な色分けとガライ＝ウットの定理、および有限体の構成との関係を調査すること。

提案手法

• 長方形自由な集合と関数maxrf(n,m)（n×mグリッドにおける最大の長方形自由部分集合のサイズを表す）の使用。
• 有効な色分けを体系的に構成するための強c-色分けと強(c,c')-色分けの採用。
• 特に素数べきcに対して、有限体の構成を用いてc²×c²およびc²×(c²+c)グリッドに対する明示的なc-色分けを生成すること。
• 特に小さなnとmに対して、最大サイズの長方形自由集合を構築するための組合せデザインの応用。
• グリッドがc-色可能であるのは、OBS_cに属するいかなるグリッドをも含まない場合に限ることを活用すること。
• 解析的構成が不適切な場合（特にOBS_4における大きなグリッドの場合）、コンピュータ支援による検証を実施すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 nとmのどの値に対して、n×mグリッドが、任意の軸に平行な長方形の4つの頂点が同じ色にならないようにc-色可能となるか？
• RQ2 c = 2, 3, 4 の場合の障害集合OBS_cの正確な構造は何か？
• RQ3 有限体の構成は、どのようにc²×c²およびc²×(c²+c)グリッドに対する明示的なc-色分けを可能にするか？
• RQ4 長方形自由な色分けの特徴付けから、二部グラフラマージ数の新たな境界をどのように導出できるか？
• RQ5 小さなnとmに対して、n×mグリッドにおける最大の長方形自由部分集合のサイズmaxrf(n,m)の正確な値は何か？

主な発見

• 論文は障害集合OBS_2を完全に特徴付けた：グリッドが2-色可能であるのは、G_{3,7}またはG_{7,3}を含まない場合に限る。
• c = 3の場合、障害集合OBS_3は正確に13個のグリッドから構成され、最大のものはG_{10,10}であり、これらのいずれとも部分グリッドを含まないグリッドはすべて3-色可能である。
• c = 4の場合、障害集合OBS_4には147個のグリッドが含まれ、最大のものはG_{21,12}であり、これらのいずれとも部分グリッドを含まないグリッドはすべて4-色可能である。
• 著者らは、任意の素数べきcに対して、有限体の構成を用いてグリッドG_{c²,c²}がc-色可能であることを証明した。
• さらに、素数べきcに対してG_{c²,c²+c}がc-色可能であることを示し、既知のc-色可能グリッドの範囲を拡張した。
• すべての0 ≤ n ≤ 6およびm ≤ nに対して、maxrf(n,m)の正確な値を提供し、より大きなnとmに対しても再帰的および構成的境界を導出した。