[論文レビュー] Rectifiability of pointwise doubling measures in Hilbert Space

Lisa Naples|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2020

Point processes and geometric inequalities参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間へのアナリストの巡回セールスマン定理の拡張を、マルチスケールのウィンドウ族と重み付きジョーンズ関数を導入することで行い、1-リーマンフレスな点毎にダブリングする測度を特徴付ける。可解性は、すべてのスケールで直線回りの均一な質量集中と同値であり、δ-ネットを用いた曲線の構成により、無限次元の課題を幾何的制御と射影の議論によって克服する。

ABSTRACT

In geometric measure theory, there is interest in studying the interaction of measures with rectifiable sets. Here, we extend a theorem of Badger and Schul in Euclidean space to characterize rectifiable pointwise doubling measures in Hilbert space. Given a measure $μ$, we construct a multiresolution family $\mathscr{C}^μ$ of windows, and then we use a weighted Jones' function $\hat{J}_2(μ, x)$ to record how well lines approximate the distribution of mass in each window. We show that when $μ$ is rectifiable, the mass is sufficiently concentrated around a lines at each scale and that the converse also holds. Additionally, we present an algorithm for the construction of a rectifiable curve using appropriately chosen $δ$-nets. Throughout, we discuss how to overcome the fact that in infinite dimensional Hilbert space there may be infinitely many $δ$-separated points, even in a bounded set. Finally, we prove a characterization for pointwise doubling measures carried by Lipschitz graphs.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間から無限次元ヒルバート空間への可解測度の特徴付けを拡張すること。
• 有界集合が無限個のδ-分離点を含む可能性があるという課題に対処すること。これは、標準的なネットに基づく構成を複雑にする。
• 点毎にダブリングする測度の可解成分を特定するための、重み付きジョーンズ関数による局所的基準を確立すること。
• 有限な長さと連結性を保証するδ-ネットを用いた可解曲線の構成アルゴリズムを提供すること。
• ヒルバート空間におけるリーマンフレスなグラフに沿った測度を、幾何的および測度論的条件を用いて特徴付けること。

提案手法

• スケールごとの質量分布を局所化するためのマルチスケールのウィンドウ族 $\mathscr{C}^\mu$ を導入する。
• 各ウィンドウにおける測度の質量が直線にどの程度よく近似されるかを測る重み付きジョーンズ関数 $\hat{J}_2(\mu,x)$ を定義する。
• ダブリング測度に適応したバイトリ・被覆定理を用い、下位密度の仮定に基づいてパッケージング測度と測度を関連付ける。
• 閉集合のハウスドルフ距離空間の完備性を用いて、入れ子になったδ-ネットが極限曲線に収束することを示す。
• 射影の議論とコーン条件を用いて、集合の幾何を制御し、射影に沿ったリプシッツ制御を保証する。
• 幻の長さとコアブリッジの貢献に基づく長さ推定を用いて、$\Gamma_{k-1}$ から $\Gamma_k$ を帰納的に構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョーンズ関数による可解測度の特徴付けを $\mathbb{R}^n$ から無限次元ヒルバート空間に拡張することは可能か？
• RQ2 有界集合が無限個のδ-分離点を含む場合、ヒルバート空間における可解曲線はどのように構成できるか？
• RQ3 ダブリング測度にどのような局所的幾何的条件が、その台が可解であることを示唆するか？
• RQ4 ヒルバート空間における点毎にダブリングする測度が、どのような条件下でリーマンフレスなグラフに沿った測度となるか？
• RQ5 重み付きジョーンズ関数とネットに基づく曲線構成を用いて、アナリストの巡回セールスマン定理をヒルバート空間に一般化できるか？

主な発見

• 測度 $\mu$ が1-可解であるための必要十分条件は、重み付きジョーンズ関数 $\hat{J}_2(\mu,x)$ が $\mu$-ほとんど everywhere で有限であることである。
• $\Gamma_k$ を $\Gamma_{k-1}$ から構成する過程では、連結性と有限な長さが保証され、長さ推定は幻の長さとコアブリッジの貢献によって制御される。
• 極限曲線 $\Gamma = \bigcap_k \Gamma_k$ は可解であり、$\mu$ を零集合を除いて持ち、$\mu$ に一致する。
• リーマンフレスなグラフに台を持つ測度 $\mu$ に対して、コーン条件 $|P_V x - P_V y| \geq (1 - \alpha^2)^{1/2} |x - y|$ が成り立つと、リプシッツ制御が得られ、グラフ全体への拡張が可能になる。
• 最大コーン幅 $\eta_\alpha$ は明示的に $\eta_\alpha = \sqrt{1 - \left(t_1 t_2 + \sqrt{(1 - t_1^2)(1 - t_2^2)}\right)}$ で抑えられ、ここで $t_1 = 1 - \alpha$, $t_2 = 1 - 2\alpha$ である。これにより、構成における幾何的制御が保証される。
• 無限次元性の克服には、閉集合のハウスドルフ距離空間の完備性を用い、入れ子になったδ-ネットが極限曲線に収束することを保証する。