[論文レビュー] Rectifiability of Singular Sets in Noncollapsed Spaces with Ricci Curvature bounded below

Jeff Cheeger, Wenshuai Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 38被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、下からのリッチ曲率が有界で非崩壊なリーマンの極限空間において、特異集合の可解性を確立し、$k$-次元の層 $S^k$ が $k$-可解であり、$ olimits^k$-ほとんど everywhere での点 $x\in S^k$ に対して、接錐が $k$-対称的であることを証明する。さらに、特異集合 $S^{n-2}$ が $(n-2)$-可解で $ olimits^{n-2}$-測度が有限であり、接錐が $(n-2)$-次元ハウスドルフ測度ゼロの集合を除いて一意的であることを示し、従来の正則性結果を顕著に改善する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the structure of Gromov-Hausdorff limit spaces $(M^n_i,g_i,p_i)\stackrel{d_{GH}}{\longrightarrow} (X^n,d,p)$ of Riemannian manifolds satisfying a uniform lower Ricci curvature bound $Rc_{M^n_i}\geq -(n-1)$ as well as the noncollapsing assumption $Vol(B_1(p_i))>v>0$. In such cases, there is a filtration of the singular set, $S_0\subset S_1\cdots S_{n-1}:= S$, where $S^k:= \{x\in X: ext{ no tangent cone at $x$ is }(k+1) ext{-symmetric}\}$; equivalently no tangent cone splits off a Euclidean factor $\mathbb{R}^{k+1}$ isometrically. Moreover, by \cite{ChCoI}, $\dim S^k\leq k$. However, little else has been understood about the structure of the singular set $S$. Our first result for such limit spaces $X^n$ states that $S^k$ is $k$-rectifiable. In fact, we will show that for $k$-a.e. $x\in S^k$, {\it every} tangent cone $X_x$ at $x$ is $k$-symmetric i.e. that $X_x= \mathbb{R}^k imes C(Y)$ where $C(Y)$ might depend on the particular $X_x$. We use this to show that there exists $ε=ε(n,v)$, and a $(n-2)$-rectifible set $S^{n-2}_ε$, with finite $(n-2)$-dimensional Hausdorff measure $H^{n-2}(S_ε^{n-2})

研究の動機と目的

• リーマン多様体のグロモフ＝ハウスドルフ極限において、下からのリッチ曲率が有界で体積が崩壊しない条件下での特異集合の微細構造を理解すること。
• このような極限空間における $k$-番目の層 $S^k$ の可解性を確立し、従来の次元の上限を改善すること。
• $\mathcal{H}^k$-ほとんど everywhere での $x\in S^k$ に対して、$x$ におけるすべての接錐が $k$-対称的であることを示すこと、すなわち $\mathbb{R}^k \times C(Y)$ の形をとること。
• $\mathcal{H}^{n-2}$-測度が有限で、$(n-2)$-可解である特異集合 $S^{n-2}$ が、与えられた曲率と非崩壊仮定のもとで示せることを証明すること。
• 接錐の一意性を $(n-2)$-次元ハウスドルフ測度ゼロの集合を除いて確立し、両側のリッチ曲率の下限のもとで、コディメンション 4 の予想に対する新しい証明を提供すること。

提案手法

• 古典的ストラティフィケーションを発展させた、[ChNa13] で導入された定量的ストラティフィケーションフレームワークを用いる。これは、接錐における対称性の度合いを測定することで、古典的ストラティフィケーションを精緻化する。
• ネック領域における調和関数の劣化を制御するための鋭いコーンスプリッティング定理を導入する。
• 極限コーン上の調和関数を分析し、ヘッセ行列の減衰推定を得るために、幾何的変換定理を適用する。
• ネック分解とネック領域（メトリックが断面をもつメトリックコーンに近似される領域）を用い、ヒートカーネルに基づく解析を実施する。
• ポンカレ不等式と $W^{1,2}$-収束を用いて、近似列における関数の挙動を制御する。
• $\epsilon$-正則性とエントロピーのピンチングを用いて、ネック領域の構造を分析し、特異集合の大きさを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非崩壊リッチ極限空間における特異集合の $k$-次元層 $S^k$ は $k$-可解であるか？
• RQ2 $\mathcal{H}^k$-ほとんど everywhere での $x\in S^k$ に対して、$x$ におけるすべての接錐は $k$-対称的であるか、すなわち $\mathbb{R}^k \times C(Y)$ の形をしているか？
• RQ3 与えられた曲率と非崩壊仮定のもとで、特異集合 $S^{n-2}$ が $(n-2)$-可解で $\mathcal{H}^{n-2}$-測度が有限であることを示せるか？
• RQ4 特異集合の $\mathcal{H}^{n-2}$-ほとんど everywhere での点において、接錐は一意的であるか？
• RQ5 ネック領域の構造は、両側のリッチ曲率の下限のもとで、コディメンション 4 の予想に対する新しい証明を可能にするか？

主な発見

• $k$-次元層 $S^k$ は各 $k=0,\dots,n-1$ に対して $k$-可解であり、$\mathcal{H}^k(S^k) < \infty$ である。
• $\mathcal{H}^k$-ほとんど everywhere での $x\in S^k$ に対して、$x$ におけるすべての接錐は $k$-対称的であり、すなわち $X_x = \mathbb{R}^k \times C(Y)$（ある距離空間 $C(Y)$ に対して）である。
• $\epsilon = \epsilon(n,\mathrm{v}) > 0$ が存在し、集合 $S^{n-2}_\epsilon$ は $(n-2)$-可解であり、$\mathcal{H}^{n-2}(S^{n-2}_\epsilon) < C(n,\mathrm{v}) < \infty$ である。
• 正則部分 $X^{n} \setminus S^{n-2}_\epsilon$ は、滑らかなリーマン多様体とバイホルダー同値である。
• 特異集合の $\mathcal{H}^{n-2}$-ほとんど everywhere での点において接錐は一意的であり、非一意的接錐を持つ点の集合は $(n-2)$-次元ハウスドルフ測度がゼロである。
• 両側のリッチ曲率の下限 $|\mathrm{Ric}| \leq n-1$ のもとで、特異集合 $\mathrm{Sing}(X)$ は $(n-4)$-可解であり、$\mathcal{H}^{n-4}$-測度が一様に有界であり、接錐は $(n-4)$-次元ハウスドルフ測度ゼロの集合を除いて一意的である。