[論文レビュー] Recurrence, dimensions and Lyapunov exponents

Benoît Saussol, Serge Troubetzkoy+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、1次元力学系における再帰時間、リヤプノフ指数、次元の間の基本的関係を確立する。典型的な点に対して、半径が小さくなる領域の対数的再帰時間が半径の逆対数と線形にスケーリングされ、そのスケーリング率は局所ヒルベルト次元に一致することを証明する。主な貢献は、再帰時間の漸近的挙動と、リヤプノフ指数や次元といった主要な力学的不変量との直接的な関係を、再帰時間の熱力学を通じて確立することにある。

ABSTRACT

We show that the Poincaré return time of a typical cylinder is at least its length. For one dimensional maps we express the Lyapunov exponent and dimension via return times.

研究の動機と目的

• 力学系における再帰時間の熱力学の理論的基盤を確立すること。
• 正の測度的エントロピーを有する系におけるシリンダーの最初の再帰時間の下界を導出すること。
• 不変測度のリヤプノフ指数およびハウスドルフ次元を再帰時間統計を用いて表現すること。
• r→0 のときの log(τr(x)) / (-log r) の極限が μ-ほとんど everywhere で存在し、その値が局所次元 dμ(x) に等しいことを示すこと。

提案手法

• 再帰時間の成長率を制御するために、コルモゴロフ複雑性とブルドノの定理のシャープナップ版（ホワイトによる）を用いる。
• 1次元写像におけるシリンダー集合および点 x の近傍再帰時間 τr(x) の概念を適用する。
• ボールとシリンダーの間の比較をホーフバウアーの結果を用いて応用し、再帰時間を測度的エントロピーおよびリヤプノフ指数と関連付ける。
• エントロピーおよびリヤプノフ指数の推定値を用いて、log τr(x) / (-log r) の lim inf および lim sup の漸近的境界を確立する。
• 記号的力学系、測度論的エントロピー、次元論の結果を統合し、再帰時間スケーリングの収束を証明する。
• 典型的な点に対して、半径 r のボールの再帰時間が r^(-dμ(x)) に比例してスケーリングされること（dμ(x) は局所次元）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の測度的エントロピーを有する系において、シリンダーの最初の再帰時間の最小の成長率は何か？
• RQ2 再帰時間の収縮近傍への漸近的挙動からリヤプノフ指数を回復できるか？
• RQ3 lim_{r→0} log τr(x) / (-log r) は μ-ほとんど everywhere で存在するか？ もし存在するならば、その値は何か？
• RQ4 局所次元 dμ(x)、測度的エントロピー hμ、リヤプノフ指数 λμ は再帰時間統計を通じてどのように関連しているか？

主な発見

• 任意の正の測度的エントロピーを有するエルゴディック系に対して、τ(ζⁿˣ)/n の下限がほとんど everywhere で 1 以上であることが示され、再帰の根本的下界が確立される。
• lim_{r→0} log τr(x) / (-log r) は μ-ほとんど everywhere で存在し、その値は局所ハウスドルフ次元 dμ(x) に等しい。
• 1次元写像の広いクラスに対して、局所次元 dμ(x) は hμ / λμ に等しく、かつ log τr(x) / (-log r) の極限にも等しい。
• 再帰時間スケーリングの上界および下界が hμ / λμ に収束することが示され、極限と次元比の等価性が証明される。
• 臨界点および放物的点を有する写像に対しても結果が成り立つことから、一様に双曲的でない系に対しても広く適用可能であることが示された。
• ホーフバウアーの結果によるボールとシリンダーの鋭い比較と、コルモゴロフ複雑性を用いたエントロピー成長の制御により、証明が成立する。