[論文レビュー] Recurrence matrices

Roland Bacher|ArXiv.org|Jan 16, 2006

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、p進的または類似の再帰的構造によってインデックス付けられる無限族の行列を符号化する、体K上の有限次元行列表現である再帰行列を導入する。これら行列が乗法に関して代数をなすこと、可逆元がGL_{p-rec}(K)と呼ばれる群をなすこと、さらに自動機群や自己相似群（グリゴルチキンの群を含む）が、自動列およびハンケル行列との関連を通じて自然に含まれることを確立する。

ABSTRACT

We define recurrence matrices and study a few properties (links with automatic sequences, branch groups etc.) of them.

研究の動機と目的

• 無限族の行列を有限の再帰的記述で表現可能な計算フレームワークとして再帰行列を定義・形式化すること。
• 再帰行列の集合が体K上でベクトル空間をなし、乗法に関して代数をなすことの確立。
• 可逆な再帰行列が群GL_{p-rec}(K)をなすこと、および重要な自己相似群・自動機群のクラスを含むことの示唆。
• 自由モノイドの行列表現を介して、再帰行列と自動関数および有限状態オートマトンとの関連を確立すること。
• 特定の自動列に関連するハンケル行列が再帰行列として表現可能であり、アルゴリズム的計算および逆行列計算が可能であることの実証。

提案手法

• 有効な計算を可能にする有限性条件を満たす、∏_{l=0}^∞ K^{p^l × q^l} の要素として再帰行列を定義する。
• p進的インデックスに基づくブロックの進化を記述する、シフト行列ρ(i,j)を用いた再帰的表現を導入する。
• A ∈ Rec_{p×r}(K), B ∈ Rec_{r×q}(K) の積ABを用い、Rec_{p×q}(K) に属する新たな再帰行列を定義し、閉包性を保証する。
• 可逆再帰行列の集合としてGL_{p-rec}(K)を定義し、逆行列の計算を再帰的シフト行列を用いて行う。
• 生成関数 ∏_{k=0}^∞(1 + i x^{2^k}) から得られるハンケル行列を用いた具体的な例を構成し、これらがRec_{2×2}(Z[i]) に属し、LU分解を施せることを示す。
• モノイドの有限因子分解性を活用し、形式的べき級数および行列積の収束性と定義の明確さを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限族の行列は、どのように有限な記述で記述可能であり、代数的に操作可能か？
• RQ2 行列乗法に関して再帰行列がどのような代数的構造をなすか？
• RQ3 再帰行列フレームワーク内で自然に生じるregularな木上の自己同型群はどのようなものか？
• RQ4 自動列に関連するハンケル行列は再帰行列として表現可能であり、アルゴリズム的に逆行列が計算可能か？
• RQ5 再帰行列と有限状態オートマトン、またはモノイド表現との関係は何か？

主な発見

• 再帰行列の集合Rec_{p×q}(K)はベクトル空間をなし、p=qのとき行列乗法に関して閉じており、代数をなす。
• 可逆再帰行列の群GL_{p-rec}(K)は、すべての自動機群およびp自己相似群（グリゴルチキンの群を含む）を含む。
• 生成関数 (x²−1)/(1−i) ∏_{k=0}^∞(1 + i x^{2^k}) に関連するハンケル行列がRec_{2×2}(Z[i]) に属し、同じ代数内で明確な逆行列をもつことが示された。
• Rec_{2×2}(Z[i]) に属するハンケル行列に対して、再帰的に定義されたシフト行列を用いて明示的なLU分解を構成した。
• LU分解における下三角ユニポテンツ行列Lの逆行列M = L⁻¹が、4段階の再帰的構造を有することを計算した。
• 符号列(−1)^{τ(n)} に関連するハンケル行列はRec_{2×2}(Q) では非可逆であるが、再帰的列σ(k)を用いた一般化された意味で逆行列が存在することが示された。